ค่าสูงสุดต่ำสุดของ ตรีโกณ

[Bonegun]

โจทย์ถามว่า
3sinx-4cosx มีค่าสูงสุดเท่าไหร
ซึ่งผมก็ใช้สูตร
$\sqrt{a^2+b^2} \left[\,\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2} }sin(x)+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2} }cos(x)\right]=\sqrt{a^2+b^2}sin(x+\theta ) $
ค่าสูงสุดอยู่ที่ $\sqrt{a^2+b^2}$ จะได้เท่ากับ 5
ก็โอเคนะครับ

แต่ทีนี้ผมลองคิดโดยเริ่มจาก
$ -1\leqslant sin(x)\leqslant 1 และ -1\leqslant cos(x)\leqslant 1$
$-3\leqslant 3sin(x)\leqslant 3 $
$ -4\leqslant 4cos(x)\leqslant 4$
นำทั้งสองช่วงมาลบกัน
$-7\leqslant 3sin(x)-4cos(x)\leqslant 7$

เอาล่ะมันไม่เท่ากัน ทีนี้ผมก็เลยลองไป plot กราฟใน โปรแกรม GSP ดูปรากฏว่าอันบนถูก
ผมจึงสงสัยครับว่า ทำไมวิธีทำแบบข้างล่างมันผิดอ่ะครับ

ที่ผมสันนิฐานไว้ก็คือ
วิธีแบบที่ 2 ที่ผมทำผิดเนิ่องจาก sin กับ cos เป็นคนละฟังก์ชันกันจึงนำ ช่วงมาบวกลบกันไม่ได้
ถ้าอย่างไรวานผู้รู้ชี้แจงทีครับ

[RoSe-JoKer]

ดู cos x มันเกิด cos x=1 เมื่อไหร่
แล้ว sin x มันเกิด sin x=1 เมื่อไหร่
มันไม่ได้เกิดที่จุดเดียวกันดังนั้น... (คิดต่อเอง)

[Onasdi]

วิธีแรกบอกเราว่า $-5\leqslant 3\sin x-4\cos x\leqslant 5$
วิธีที่สองบอกเราว่า $-7\leqslant 3\sin x-4\cos x\leqslant 7$
ซึ่งเราไม่ได้ทำอะไรผิด มันไม่ได้ขัดแย้งกับวิธีแรก
แค่เพียงว่ามันไม่ดีพอ ก็คือค่าของ $3\sin x-4\cos x$ เป็น 7 ไม่ได้ แต่มันก็น้อยกว่า 7 จริง!

[Bonegun]

ขอบคุณทั้งสองท่านมากครับ