โจทย์จาก Australia

[tatari/nightmare]

จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องเงื่อนไข
1.$f(k+n)+f(k-n)=2f(k)f(n)$ ทุก k,n ที่เป็นจำนวนเต็ม
2.สำหรับทุกจำนวนเต็ม n จะมีจำนวนเต็ม N ซึ่ง $-N\leq f(n) \leq N$
ผมอ่านเฉลยผมยิ่งงงเข้าไปใหญ่(แถมเป็นภาษาอังกฤษอีกต่างหาก) ผมขอ SOS!!!

[Art_ninja]

ลองคิดดูคร่าวๆ นะครับ ไม่แน่ใจว่าจะถูกหรือเปล่า
เริ่มจากสมการแรก แทนค่า $n=0$
จะได้ว่า $2f(k)=2f(k)f(0) \rightarrow f(k)=0$ หรือ $f(0) = 1$
กรณีแรก $f(k)=0$ $\forall k \in \mathbb{Z} $
เมื่อแทนเเล้วพบว่าสมการเป็นจริงทั้งสองสมการ
กรณีที่สอง $f(0)=1$
เมื่อแทนค่า k=0 ลงในสมการจะได้ว่า
$f(n)+f(-n)=2f(n) \rightarrow f(n)=f(-n)$ $\forall n \in \mathbb{Z}$
เมื่อเเทนค่่า $k=n$ จะได้ว่า $f(2n)=2[f(n)]^2-1$ $\therefore f(2n)$ เป็นจำนวนคี่ทุก $n$ ที่เป็นจำนวนเต็ม
ซึ่งจะได้ว่า $f(2n)=[f(n)-1][f(n)+1]$ ดังนั้น...(เดี๋ยวจะมาต่อนะครับ)

[tatari/nightmare]

ก็เข้าเค้านะครับ แต่คุณ Art_ninja ตื่นเช้าจัง