มีคำถามชวนปวดหัวมาให้ขบคิดกันครับ

[เอกสิทธิ์]

ถ้ามีเกม ๆ หนึ่งให้คุณเล่น กติกาของเกมนี้คือโยนเหรียญ ๆ หนึ่ง โยนไปเรื่อยจนกว่าเหรียญจะออกก้อย ทันทีที่เหรียญออกก้อยจะยุติเกมทันที โดยจำนวนเิงินที่ได้รับจากการเล่นเกมนี้จะเท่ากับ 2 ยกกำลัง จำนวนครั้งที่โยนเหรียญ เช่นถ้าโยนเหรียญแล้วออกก้อยทันทีก็จะยุติเกมและได้เงินไป แต่จะได้เงินไป 2 บาท แต่ถ้าโยนเหรียญครั้งแรกแล้วออกหัว ก็ได้สิทธิ์โยนเหรียญครั้งต่อไป โยนครั้งที่สองออกหัวก็ได้โยนเหรียญอีกครั้ง โยนครั้งที่สามได้ก้อย เป็นอันว่าหยุดโยนเหรียญ โยนเหรียญทั้งหมดสามครั้ง ได้เิงินไป 2 ยกกำลัง 3 เท่ากับ 8 บาท ดังนี้เป็นต้น

อีกเกมหนึ่ง เป็นเกมโยนเหรียญเหมือนเกมแรกกติกาการยุติเกมก็เหมือนกันคือ ถ้าเหรียญออกก้อยแต่ต่างกันตรงที่เงินรางวัลที่จะได้รับ ถ้าโยนเหรียญครั้งแรกแล้วออกหัวได้เงินรางวัลไป 1 บาท และได้สิทธิ์โยนเหรียญอีกครั้ง ถ้าออกหัวก็จะได้เิงินรางวัลเพิ่มเป็น 2 เท่า ได้เงินรางวัลไป 2 บาท และได้สิทธิ์โยนเหรียญอีกครั้ง ถ้าออกหัวอีกก้จะได้เงินรางวัลเพิ่มขึ้นเป็น 2 เท่า ได้เงินรางวัลไป 4 , 8 , 16 , ... เพิ่มไปเรื่อย ๆ เกมจะยุิติทันทีที่เหรียญออกก้อย สำหรับเกมนี้มีข้อน่าสังเกตคือถ้าโยนเหรียญครั้งแรกแล้วได้ก้อยจะไม่ได้เงินรางวัล

ถ้าคุณได้สิทธิ์ในการยื่นประมูลเพื่อที่จะเล่นเกมนี้ คุณจะเสนอราคาเท่าไรในการเล่นเกมนี้ 1 ครั้ง มีข้อมูลที่น่าสนใจคือค่าคาดหมายของเกมนี้ถ้าเล่นไปเรื่อย ๆ คุณจะได้เงินเป็นอนันต์ทันที ดังนั้น ราคาที่เสนอในการเล่นเกมนี้จึงเป็นเท่าไรก็ได้ ถ้าเงินลงทุนสายป่านยาวพอ เล่นนานมากพอ เหรียญยุติธรรม จะได้กำไรแน่นอน

คำถามนี้ผมอยากให้เป็นคำถามปลายเปิด และถ้าคุณเป็นเจ้ามือในการเล่นเกมนี้ คุณจะรับเป็นหรือไม่ และถ้ารับคุณจะกำหนดราคาเท่าไรที่ทำให้คุณไม่ขาดทุน

ลองขบคิดกันเล่นนะครับ ผมว่าเกมนี้กำไรแน่นอนดังที่ผมบอกข้างต้น แต่ปัญหาของผมคือผมมีเงินไม่มากพอ ดังนั้น ถ้าเงินของผมหมดก่อน ผมก็จะขาดทุน ดังนั้นจำนวนเิงินที่จะใช้ในการประมูลควรจะสัมพันธ์กับเงินทุนของผม และเวลาในการเล่น ถ้าสมมุติเกมนี้เล่นได้วันละครั้ง

มีอีกประเด็นหนึ่งที่ผมอยากให้ขบคิด กล่าวคือ ถ้าเกมนี้มีสิทธิ์เล่นได้แค่ 40 ครั้ง และคุณมีเงินอยู่ 1,000,000 บาท
คุณจะกำหนดราคาในการเล่นเกมนี้แต่ละครั้งเท่าไรดี ใครพอจะสรุปเป็นฟังก์ชันได้บ้างครับ
ฟังก์ชันนั้นคือ ตัวแปรต้นแทน เงินที่ต้องจ่ายในการเล่นแต่ละครั้ง จำนวนครั้งที่เล่นได้ กำไรหรือขาดทุน X บาท จำนวนเงินที่มี
ตัวแปรตามคือ ความน่าจะเป็นที่จะได้กำไรหรือขาดทุน X บาท

ผมว่าเป็นคำถามที่น่าขบคิดและค่อนข้างปลายเปิดอย่างมาก
อนึ่งผมไม่สนับสนุนให้ใครเล่นการพนัน

[Onasdi]

ค่าความคาดหวังของเงินรางวัลในการเล่น 1 ครั้งเป็นอนันต์ไม่ใช่เหรอครับ
$= 2^1\cdot \mathbb{P}(\text{ได้ก้อยในครั้งแรก})+2^2\cdot \mathbb{P}(\text{ได้ก้อยในครั้งที่สอง})+2^3\cdot \mathbb{P}(\text{ได้ก้อยในครั้งที่สาม})+\dots$
$= 2^1\cdot \frac{1}{2}+2^2\cdot \frac{1}{2^2}+2^3\cdot\frac{1}{2^3}+\dots$
$= 1+1+1+\dots$
ซึ่งก็แปลว่าต้องจ่ายค่าเล่นเท่าไหร่ก็ควรจะเล่น