พิสูจน์กรุปแล้ว แต่มันยังแปลกๆ

[ครูนะ]

จากที่เคยถามคุณ NOOONUII
ให้ G เป็นกรุป และ a เป็นสมาชิกใน G ซึ่ง |a| = n จงหาเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอที่ <a^r> เป็นสับเซต <a^t>
คุณ NOOONUII แนะนำให้พิสูจน์ว่า gcd(n,t)|gcd(n,r)

พิสูจน์ จาก |a| = n
จะได้ a^n = e
จาก (a^r)^n/r = e และ (a^t)^n/t = e จะได้ |a^r| = n/r และ |a^t| = n/t
เนื่องจาก <a^r> เป็นสับเซต <a^t> นั่นคือ a^t ละเอียดกว่า a^r จึงได้ว่า a^t เป็นกรุปย่อยของ a^r
จากทฤษฎีบทลากรางจ์ จะได้ว่า n/t | n/r ดังนั้น t|r
ให้ d = gcd(n,t) จาก t|r จะได้ d|r
เพราะฉะนั้น gcd(n,t)|gcd(n,r)

ผมลองดูแล้ว มันแปลกๆ คิดว่าผิดแน่นอน ยังไงรบกวนคุณ NOOONUII ช่วยผมด้วยครับ ความรู้ผมไปไม่ถึงจริงๆ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูนะ

จากที่เคยถามคุณ NOOONUII
ให้ G เป็นกรุป และ a เป็นสมาชิกใน G ซึ่ง |a| = n จงหาเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอที่ <a^r> เป็นสับเซต <a^t>
คุณ NOOONUII แนะนำให้พิสูจน์ว่า gcd(n,t)|gcd(n,r)

พิสูจน์ จาก |a| = n
จะได้ a^n = e
จาก (a^r)^n/r = e และ (a^t)^n/t = e จะได้ |a^r| = n/r และ |a^t| = n/t
เนื่องจาก <a^r> เป็นสับเซต <a^t> นั่นคือ a^t ละเอียดกว่า a^r จึงได้ว่า a^t เป็นกรุปย่อยของ a^r
จากทฤษฎีบทลากรางจ์ จะได้ว่า n/t | n/r ดังนั้น t|r
ให้ d = gcd(n,t) จาก t|r จะได้ d|r
เพราะฉะนั้น gcd(n,t)|gcd(n,r)

ผมลองดูแล้ว มันแปลกๆ คิดว่าผิดแน่นอน ยังไงรบกวนคุณ NOOONUII ช่วยผมด้วยครับ ความรู้ผมไปไม่ถึงจริงๆ

ตรงส่วนสีแดงน่ะครับ $n/t,n/r$ อาจจะไม่เป็นจำนวนเต็มก็ได้ เราถึงต้องมี $(n,t),(n,r)$ เข้ามาเกี่ยวข้องครับ

[ครูนะ]

ขอบคุณครับ