รบกวนผู้รู้ช่วยตอบโจทย์ของ ฟังก์ชัน mobius

[หยินหยาง]

1. จงพิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็มบวก n ที่ทำให้
$\mu (n+1)=\mu (n+2)=\mu (n+3)$
2.จงหาจำนวนเต็ม n ทั้งหมดที่ทำให้
$\mu (n)=\mu (n+1)=\mu (n+2)=\mu (n+3)=0$
รบกวนขอวิธีทำหรือแนวคิดแบบคนที่เพิ่งศึกษาด้วยตัวเองจะเข้าใจได้ด้วยครับ ขอบคุณครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

1. จงพิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็มบวก n ที่ทำให้
$\mu (n+1)=\mu (n+2)=\mu (n+3)$
2.จงหาจำนวนเต็ม n ทั้งหมดที่ทำให้
$\mu (n)=\mu (n+1)=\mu (n+2)=\mu (n+3)=0$
รบกวนขอวิธีทำหรือแนวคิดแบบคนที่เพิ่งศึกษาด้วยตัวเองจะเข้าใจได้ด้วยครับ ขอบคุณครับ

1. ลองหาจำนวนเต็มบวกที่เรียงติดกันสามจำนวนซึ่งแต่ละจำนวนเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะสองจำนวนดูครับ หาไม่ยาก

2. ผมก็ยังหาได้ไม่หมดครับ แต่รู้ว่ามีมากมายนับไม่ถ้วน

พิสูจน์

ให้ $p,q,r,s$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน พิจารณาระบบสมภาค

$n\equiv \,\,\,\,\,0\, (\text{mod}\, p^2)$

$n\equiv -1\, (\text{mod}\, q^2)$

$n\equiv -2\, (\text{mod}\, r^2)$

$n\equiv -3\, (\text{mod}\, s^2)$

ระบบสมภาคนี้มีคำตอบเป็นจำนวนอนันต์โดยทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนครับ ยกตัวอย่างเช่น ถ้าให้ $p=2,q=3,r=5,s=7$ จะได้
$$n=44100m+29348,m\geq 0$$
จะเห็นว่า

$n\quad\,\,\,\, =4(11025m+7337)$

$n+1=9(4900m+3261)$

$n+2=25(1764m+1174)$

$n+3=49(900m+599)$

[หยินหยาง]

ขอบคุณ nooonuii มากสำหรับคำตอบ แต่ผมยังคงมีข้อสงสัยอีกเล็กน้อยอะครับ คือ
1.

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

1. ลองหาจำนวนเต็มบวกที่เรียงติดกันสามจำนวนซึ่งแต่ละจำนวนเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะสองจำนวนดูครับ หาไม่ยาก

1.1 คือทำไมถึงต้องเป็น "สามจำนวนซึ่งแต่ละจำนวนเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะสองจำนวน" ด้วยหละครับ $n, n+1$ และ $n+2$ มันสามารถเขียนอยู่ในรูปของ $ap^2, bq^2, cr^2$ ตามลำดับ โดยที่ $p, q, r $ เป็นจำนวนเฉพาะ ได้หรือป่าวครับ
1.2 ผมลองหาจำนวนเต็มบวกที่เรียงติดกันสามจำนวนซึ่งแต่ละจำนวนเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะสองจำนวนแล้วหละครับได้ว่า $n=32$ แล้วจะทราบได้หรือป่าวครับว่าตัวต่อไปคือจำนวนได้
2.

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ถ้าให้ $p=2,q=3,r=5,s=7$ จะได้
$$n=44100m+29348,m\geq 0$$
จะเห็นว่า

$n\quad\,\,\,\, =4(11025m+7337)$

$n+1=9(4900m+3261)$

$n+2=25(1764m+1174)$

$n+3=49(900m+599)$

รบกวนช่วยอธิบายการหาค่า $n$ ในช่วงนี้หน่อยได้หรือป่าวครับ
รบกวนด้วยนะครับ ขอบคุณมากๆครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

1.1 คือทำไมถึงต้องเป็น "สามจำนวนซึ่งแต่ละจำนวนเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะสองจำนวน" ด้วยหละครับ

ตอนผมทำข้อนี้ผมไม่ได้คิดข้อ 2 ครับ ก็เลยหาจำนวนเต็มบวกสามจำนวนที่เรียงติดกันและมีค่า mobius function เป็น $1$ แทน แต่ถ้าใช้วิธีตามข้อสองก็ทำได้ครับ

1.2 ผมลองหาจำนวนเต็มบวกที่เรียงติดกันสามจำนวนซึ่งแต่ละจำนวนเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะสองจำนวนแล้วหละครับได้ว่า $n=32$ แล้วจะทราบได้หรือป่าวครับว่าตัวต่อไปคือจำนวนใด

ผมว่ายากอยู่นะ ถ้าไม่ใช้วิธีลองผิดลองถูกไปเรื่อยๆ

2.
รบกวนช่วยอธิบายการหาค่า $n$ ในช่วงนี้หน่อยได้หรือป่าวครับ
รบกวนด้วยนะครับ ขอบคุณมากๆครับ

ผมใช้วิธีคิดจากทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนครับ
คำตอบของระบบสมภาค

$n\equiv a_1\,(\text{mod}\,m_1)$

$n\equiv a_2\,(\text{mod}\,m_2)$

$n\equiv a_3\,(\text{mod}\,m_3)$

$n\equiv a_4\,(\text{mod}\,m_4)$

เมื่อ $(m_i,m_j)=1$ ทุก $i\neq j$ คือ

$n\equiv a_1M_1y_1+a_1M_2y_2+a_3M_3y_3+a_4M_4y_4\, (\text{mod}\, M)$

เมื่อ $M=m_1m_2m_3m_4,M_j=\dfrac{M}{m_j}$ และ $y_j$ เป็นคำตอบของสมภาค

$M_jy_j\equiv\, 1\, (\text{mod} \,m_j)$

ในที่นี้
$m_1=2^2,m_2=3^2,m_3=5^2,m_4=7^2$

$M=(2\cdot 3\cdot 5 \cdot 7)^2$

$M_1 = (3\cdot 5 \cdot 7)^2$

$M_2 = (2\cdot 5 \cdot 7)^2$

$M_3 = (2\cdot 3\cdot 7)^2$

$M_4 = (2\cdot 3\cdot 5)^2$

$a_1=0,a_2=-1,a_3=-2,a_4=-3$

$y_1=1,y_2=7,y_3=9,y_4=30$

ดังนั้น $n\equiv (0)(3\cdot 5 \cdot 7)^2(1)+(-1)(2\cdot 5 \cdot 7)^2(7)+(-2)(2\cdot 3\cdot 7)^2(9)+(-3)(2\cdot 3\cdot 5)^2(30)$

$\quad\equiv 29348 (\,\text{mod}\, 44100)$

[หยินหยาง]

ขอบคุณครับ ถ้าผมอ่านแล้วมีปัญหาอาจขอรบกวนถามใหม่นะครับ