ช่วยหน่อยนะคะ พิสูจน์ complex

[mod_ta_noy]

Writing $f = u + iv$ and $z = x + iy$, computation suggests the identity
$\displaystyle{\int_C f(z) dz = \int_C (u(x, y) dx − v(x, y) dy) + i\int_C (u(x, y) dy + v(x, y) dx)}.$
Suppose now that the arc $C$ is given by $\zeta (t) = \xi (t) + i\eta (t)$ for $t ∈ [A,B]$. Show from first definition
that the identity holds.

[nooonuii]

C นี่หมายถึงเครื่องหมาย $\displaystyle{\int_C}$ รึเปล่าครับ

[mod_ta_noy]

ใช่แล้วค่ะ C หมายถึงเครื่องหมาย ∫C
ยังงัยช่วยดูให้อีกทีนะค่ะ ขอบคุณคะ

[nooonuii]

ผมลองแก้คำถามให้แล้วครับ ลองตรวจสอบดูก่อนว่าผมเข้าใจถูกต้องไหม

[mod_ta_noy]

เข้าใจถูกแล้วคะสำหรับโจทย์ ช่วยพิสูจน์ให้ด้วยนะคะ

[mod_ta_noy]

1. Writing f=u+iv and z=x+iy , computation suggests the identity
∫C f(z)dz=∫C (u(x,y)dx−v(x,y)dy)+i∫C (u(x,y)dy+v(x,y)dx).
Suppose now that the arc C is given by ζ(t)=ξ(t)+iη(t) for t∈[A,B] . Show from first definition
that the identity holds.
( ∫C คือ การอินทิเกรตภายใต้เส้นโค้ง c )

2. Suppose that f(t) = f1(t)+if2(t) and g(t) = g1(t)+ig2(t) are differentiable complex valued functions
of a real variable t. Deduce the formulas
(f + g)'(t) = f'(t) + g'(t) and (fg)'(t) = f(t)g'(t) + f'(t)g(t)
from known results of these types for real valued functions f1(t), f2(t), g1(t) and g2(t).