|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#1
14 กรกฎาคม 2011, 14:27
|
||||
|
||||
ช่วยดูพิสูจน์ทีครับ
ถ้า $n \geq 4$ แล้ว $p_1p_2\cdots p_n > p_{n+1}p_{n+2}$
พิสูจน์ กรณีที่1 $4 \leq n \leq 10$ $$2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 210 > 143 = 11\cdot 13$$ $$2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11 = 2310 > 221 = 13\cdot 17$$ $$2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13 = 30030 > 323 = 17\cdot 19$$ $$2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17 = 510510 > 437 = 19\cdot 23$$ $$2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19 = 9699690 > 667 = 23\cdot 29$$ $$2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23 = 223092870 > 899 = 29\cdot 31$$ กรณีที่2 $n > 10$ ให้ $i = \left\lfloor\,\frac{n}{2}\right\rfloor $ และสมมุติว่า $$p_1p_2\cdots p_n \leq p_{n+1}p_{n+2} < p_{n+2}^2$$ แล้ว $(p_1p_2\cdots p_i)^2 < p_1p_2\cdots p_n < p_{n+2}^2$ ให้ $N_t = tp_1p_2\cdots p_{i-1} - 1 \, , \, t = 1 , 2 ,\ldots , p_i$ สำหรับทุก $t$ จะได้ว่า $$N_t < p_1p_2\cdots p_i < p_{n+2}$$ ให้ $q_t$ เป็นจำนวนเฉพาะที่เล็กที่สุดที่หาร $N_t$ ลงตัว แล้ว $p_i \leq q_t < p_{n+2}$ ถ้า $q_t = q_{t'}$ โดยที่ $t \not= t'$ แล้ว $q_t | (N_t - N_{t'}) = (t - t')p_1p_2\cdots p_{i-1}$ ดังนั้น $q_t | (t - t')$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจาก $1\leq t,t' \leq p_i$จึ่งทำให้ได้ว่า $q_t \not= q_{t'}$ เมื่อ $t \not= t'$ ด้วยเหตุนี้จำนวนของ $N_t$ จะไม่เกินจำนวนของจำนวเฉพาะ $q$ ดังนั้น $p_i \leq q < n + 2 - i$ แต่ $i = \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$ ดังนั้น $n \leq 2i + 1$ จะได้ $p_i \leq i + 3$ ซึ่งอสมการไม่จริงเมื่อ $i \geq 5$ นั้นคือ ซึ่งอสมการไม่จริงเมื่อ $n \geq 10$ $\therefore$ ถ้า $n \geq 4$ แล้ว $p_1p_2\cdots p_n > p_{n+1}p_{n+2}$ และ สำหรับทุก $s \geq 1$ จะมีจำนวนเต็ม $n_s$ ซึ่ง $$n \geq n_s \Rightarrow p_1p_2\cdots p_n > p_{n+1}p_{n+2}\cdots p_{n+s+1}$$ พิสูจน์ ให้ $i = \left\lfloor\frac{n}{s+i}\right\rfloor$ และสมมุติว่า $$p_1p_2\cdots p_n \leq p_{n+1}p_{n+2}\cdots p_{n+s+1} < p_{n+s+1}^{s+1}$$ แล้ว $(p_1p_2\cdots p_i)^{s+1} < p_1p_2\cdots p_n < p_{n+s+1}^{s+1}$ ให้ $N_t = tp_1p_2\cdots p_{i-1} - 1 \, , \, t = 1 , 2 ,\ldots , p_i$ สำหรับทุก $t$ จะได้ว่า $$N_t < p_1p_2\cdots p_i < p_{n+s+1}$$ ให้ $q_t$ เป็นจำนวนเฉพาะที่เล็กที่สุดที่หาร $N_t$ ลงตัว แล้ว $p_i \leq q_t < p_{n+s+1} \, $ ถ้า $q_t = q_{t'}$ โดยที่ $t \not= t'$ แล้ว $q_t | (N_t - N_{t'}) = (t - t')p_1p_2\cdots p_{i-1}$ ดังนั้น $q_t | (t - t')$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจาก $1\leq t,t' \leq p_i$จึ่งทำให้ได้ว่า $q_t \not= q_{t'}$ เมื่อ $t \not= t'$ ด้วยเหตุนี้จำนวนของ $N_t$ จะไม่เกินจำนวนของจำนวเฉพาะ $q$ ดังนั้น $p_i \leq q < n + s + 1 - i$ แต่ $i = \left\lfloor\frac{n}{s+1}\right\rfloor$ ดังนั้น $n \leq si + s +i$ จะได้ $p_i \leq si + 2s + 1$ ซึ่งจะเห็นว่าสำหรับแต่ละ $s\geq 1$ จะมี $i_s$ ที่ ทุก $i \geq i_s$ ทำให้อสมการไม่จริง $\therefore$ $n \geq n_s \Rightarrow p_1p_2\cdots p_n > p_{n+1}p_{n+2}\cdots p_{n+s+1}$ จาก $p_i \leq si + 2s + 1$ ซึ่งจะเห็นว่าสำหรับแต่ละ $s\geq 1$ จะมี $i_s$ ที่ ทุก $i \geq i_s$ ทำให้อสมการไม่จริง เราจะรู้ได้ยังไงคับว่ามี $i_s$ จริง พอจะมีทฤษฎี หรือข้อความอะไรที่พอจะอธิบายได้ไมคับ 
|
|
#2
14 กรกฎาคม 2011, 21:40
|
||||
|
||||
|
|
| |
|
|
