โจทย์เรื่องสัมประสิทธิ์ทวินามจากหนังสือ สอวน. บางข้อ

[Thgx0312555]

โจทย์จากแบบฝึกหัดท้ายบทเรื่องสัมประสิทธิ์ทวินามจากหนังสือ สอวน. ช่วย hint หรือเฉลยให้หน่อยครับ
1. สำหรับทุกจำนวนเต็ม m,n ที่ไม่เป็นลบ, p เป็นจำนวนนับ จงพิสูจน์

$\displaystyle \sum_{r=0}^m\binom{m}{r}\binom{n}{r}\binom{p+m+n+r}{m+n}=\binom{p+m}{m}\binom{p+n}{n}$

2. (23rd Moscow MO) มีคน n คนในงานเลี้ยงแห่งหนึ่งซึ่งมีทั้งรู้จักและไม่รู้จัก สำหรับทุกสองคนที่ไม่รู้จักจะมีเพื่อนร่วมกัน 2 คน สำหรับทุกสองคนที่รู้จักจะไม่มีเพื่อนร่วมกันเลย จงพิสูจน์ว่าทุกคนมีเพื่อนเป็นจำนวนเท่ากัน

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

โจทย์จากแบบฝึกหัดท้ายบทเรื่องสัมประสิทธิ์ทวินามจากหนังสือ สอวน. ช่วย hint หรือเฉลยให้หน่อยครับ
1. สำหรับทุกจำนวนเต็ม m,n ที่ไม่เป็นลบ, p เป็นจำนวนนับ จงพิสูจน์

$\displaystyle \sum_{r=0}^m\binom{m}{r}\binom{n}{r}\binom{p+m+n+r}{m+n}=\binom{p+m}{m}\binom{p+n}{n}$

ในหนังสือ สอวน.พิมพ์ผิดครับ ที่ถูกคือ $\displaystyle \sum_{r=0}^m\binom{m}{r}\binom{n}{r}\binom{p+m+n-r}{m+n}=\binom{p+m}{m}\binom{p+n}{n}$

กรณีเฉพาะที่เขาบอกว่าเป็นที่รู้จักกันดีในช่วงปี ค.ศ. 1850 กว่า ๆ ในนามของ Li Shanlan 's Identity (ชาวจีน) คือ $\displaystyle \sum_{r=0}^m\binom{m}{r}^2\binom{p+2m-r}{2m}=\binom{p+m}{m}^2$

ซึ่งการพิสูจน์แบบยากที่เห็นมีก็คือในบทความ On a Class of Combinatorial Sums Involving Generalized Factorials ซึ่งจะเล่นกรณีทั่วไปก่อน แล้วค่อยได้ผลลัพธ์เป็นกรณีเฉพาะหลาย ๆ แบบ

และมีการกล่าวถึงในส่วนของแบบฝึกหัดท้ายบทของหนังสือ Advanced Combinatorics (revised) - L. Comtet (1974)

ส่วนประวัติตำนานที่มาดูได้จากหนังสือ A History of Chinese Mathematics - J. Martzloff บทที่ 18 ครับ.

[Thgx0312555]

ขอลคุณครับ มีวิธีพิสูจน์ง่ายๆมั้ย

[gon]

ผมยังจินตนาการวิธีง่าย ๆ ไม่ออกครับ เดี๋ยวจะหาเวลาคิดต่อให้ครับ.

[kongp]

ท.บ. ลึกลับมีจริง เราไม่รู้ทุกเบื้องหลังของมนุษย์ทุกคนไป เค้าคิดยังไง ต้องให้เค้าบอกเอง