ลองดูครับ

[Kira Yamato]

1.กำหนดให้ $x=\frac{2+2\sqrt{3} }{2}$
แล้ว $x^{5}-2x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x+2 =?$
2.จงแสดงว่า มีจำนวนในรูปของ 20082008...2008 ที่ถูกหารด้วย2551ลงตัว(ยากครับ ใช้รังนกพิราบ )
3.กำหนดให้ $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
จงหาค่าของ $4x^{4}+3x^{3}-2x^{2}+x-1$
4.กำหนดให้ $21n^{3}+89n^{2}-77n+15=0 $จงทำดังต่อไปนี้
ก.จงเขียนเซตAเมื่อAเป็นคำตอบของสมการดังกล่าว
ข.จงแจกแจงสมาชิกของ P(A)
5.จงแสดงว่า $(5^{5k+1}+4^{5m+2}+3^{5n})หารด้วย11ลงตัวเมื่อk,m,n\in \mathbb{Z} บวก$

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kira Yamato

1.กำหนดให้ $x=\frac{2+2\sqrt{3} }{2}$
แล้ว $x^{5}-2x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x+2 =?$
2.จงแสดงว่า มีจำนวนในรูปของ 20082008...2008 ที่ถูกหารด้วย2551ลงตัว(ยากครับ ใช้รังนกพิราบ )
3.กำหนดให้ $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
จงหาค่าของ $4x^{4}+3x^{3}-2x^{2}+x-1$
4.กำหนดให้ $21n^{3}+89n^{2}-77n+15=0 $จงทำดังต่อไปนี้
ก.จงเขียนเซตAเมื่อAเป็นคำตอบของสมการดังกล่าว
ข.จงแจกแจงสมาชิกของ P(A)
5.จงแสดงว่า $(5^{5k+1}+4^{5m+2}+3^{5n})หารด้วย11ลงตัวเมื่อk,m,n\in \mathbb{Z} บวก$

ข้อ 1 ผมทำได้แต่มันค่อนข้างยืดยาว ตอนแรกจัดรูปให้ $x=1+\sqrt{3}$
ต่อมาเอา x ออกมาเรื่อยๆ
$x^{5}-2x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x+2$
$x(x^4-2x^3-2x^2-x+2)+2$
$x(x(x^3-2x^2-2x-1)+2)+2$
$x(x(x(x^2-2x-2)-1)+2)+2$
$x(x(x(x(x-2)-2)-1)+2)+2$
จากตรงนี้ค่อยแทนค่าออก
$x(x(x(x(1+\sqrt{3}-2)-2)-1)+2)+2$
$x(x(x((1+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)-2)-1)+2)+2$
$x(x(x((3-1)-2)-1)+2)+2$
$x(x(-1)+2)+2$
$x(-1-\sqrt{3}+2)+2$
$x(1-\sqrt{3})+2$
$(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})+2$
$2-2$
$0$
ผมก็ได้มาแบบนี้ซึ่งแน่นอนว่ามีสิทธิ์ผิดพลาดค่อนช้างสูงใครมีวิธีดีๆก็มาแบ่งกันบ้างนะครับ

[nongtum]

ข้อ 1 และ 3 ทำได้ง่ายกว่านั้นครับ จะลองทำข้อ 1 ให้ดูละกัน (เคาะสนิมไปในตัว)

จาก $x=1+\sqrt3$ จะได้ $(x-1)^2-3=x^2-2x-2=0$ ดังนั้น $x^{5}-2x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x+2 =x^3(x^2-2x-2)-(x^2-2x-2)=0$

ส่วนข้อ 3 ก็ทำในทำนองเดียวกัน (ตั้งหารยาวก็ได้นะครับ)

ข้อ 2 เพราะ 2551 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น $2551\not\vert 2008$ เลยเหลือแต่พิจารณาว่าจำนวนในรูป 1001001001... ควรจะยาวแค่ไหนถึงจะหารด้วย 2551 ลงตัวครับ

ข้อ 4 แยกทางซ้ายมือได้ $(3x-1)(7x-3)(x+5)$

ข้อ 5 ข้อสรุปด้านบนได้มาจาก $3^5,\ 4^5,\ 5^5\equiv 1 \pmod{11}$

[warutT]

ข้อ 5 ครับ จะแสดงว่า $(5^{5k+1}+4^{5m+2}+3^{5n})$ หารด้วย $11$ ลงตัว เมื่อ$k,m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวก

เนื่องจาก $5^5 \equiv 1 \pmod{11}$
$5^{5k} \equiv 1 \pmod{11}$
$5^{5k+1} \equiv 5 \pmod{11}$

ในทำนองเดียวกัน
$4^{5m} \equiv 1 \pmod{11}$
$4^{5m+2} \equiv 16 \pmod{11}$
และ $3^{5n} \equiv 1 \pmod{11}$
นั่นคือ $(5^{5k+1}+4^{5m+2}+3^{5n}) \equiv 22 \equiv 0 \pmod{11}$
แสดงว่า $(5^{5k+1}+4^{5m+2}+3^{5n})$ หารด้วย $11$ ลงตัว

[Kira Yamato]

ครับวิธีถูกทั้งหมดเลยครับ
ตอนแรกข้อ3ผมไม่รู้ทำไง
แทนค่าถึกแทบตายแน่ะ แต่ก็รู้ตอนที่มีคนสอนอ่ะครับ
เลยเอาโจทย์มาโพสต์ดูครับ