โจทย์เมทริกซ์ ช่วยทีครับ

[issac]

ข้อ 1 ข้อนี้ ขอพิสูจน์ให้ดูหน่อยครับ



ข้อ 2

[nooonuii]

1. คิดว่าไม่มีข้อสรุปครับ ที่พอทำได้คือ

$(A^2+B^2)(A-B)=A^3-A^2B+B^2A-B^3=0$

จึงได้ว่า $A-B$ เป็น singular matrix หรือ $A^2+B^2$ เป็น singular matrix

แต่สรุปมากกว่านั้นไม่ได้เพราะการที่ $A\neq B$ ไม่ได้บอกว่า $A-B$ เป็น nonsingular matrix

[issac]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

1. คิดว่าไม่มีข้อสรุปครับ ที่พอทำได้คือ

$(A^2+B^2)(A-B)=A^3-A^2B+B^2A-B^3=0$

จึงได้ว่า $A-B$ เป็น singular matrix หรือ $A^2+B^2$ เป็น singular matrix

แต่สรุปมากกว่านั้นไม่ได้เพราะการที่ $A\neq B$ ไม่ได้บอกว่า $A-B$ เป็น nonsingular matrix

คำตอบที่เค้าเฉลย คือ $det(A^2+B^2)=0$ ครับ
แต่ผมว่าพิสูจน์ตรงๆ อาจจะสรุปไม่ได้ ผมเลยลองพิสูจน์แบบขัดแย้ง โดยตั้งสมมติฐานว่า
ถ้า $A^3=B^3$ , $A^2B=B^2A$ และ $A \neq B$ แล้ว $det(A^2+B^2)=0$

พิสูจน์ ให้ $A^3=B^3$ , $A^2B=B^2A$ และ $A \neq B$
จากคุณ nooonuii จะได้ว่า $(A^2+B^2)(A-B)=0$ $---(*)$
สมมติว่า $det(A^2+B^2) \neq 0$
$\Rightarrow$ $(A^2+B^2)$ สามารถหาอินเวอร์สได้
$\Rightarrow$ จากสมการ $(*)$ take อินเวอร์สของ$(A^2+B^2)$ทางด้านหน้า จึงได้ว่า $A-B=0$
$\Rightarrow$ $A=B$ นั่นเอง ซึ่งเกิดข้อขัดแย้งกับข้างต้นที่ว่า $A \neq B$

ดังนั้น จึงสรุปว่า $det(A^2+B^2)=0$ เท่านั้น

ซึ่งถ้าผมไม่รู้คำตอบข้อนี้ มาก่อน ผมก็ติดเหมือนกันครับ ขอบคุณคุณ nooonuii มากครับ

ส่วนข้อ 2 นี่ ผมยังทำไม่ออกเลยครับ

[nooonuii]

จริงด้วยครับ ผมมองเงื่อนไขนั้น ตื้นเกินไป

ข้อสองยังติดเหมือนกันครับ

แต่สงสัยอยู่นิดนึงว่า ให้ $B$ มาทำไมเพราะ $\det B=0$