ลำดับพหุนามหาได้กี่วิธีครับ

[ละอ่อนเชียงใหม่]

อยากทราบว่าการหาพจน์ทั่วๆไปของลำดับชุดนี้ทำได้กี่วิธีครับ
1,4,9,16,25,36,49,64,81,...
เท่าที่ผมรู้คือ
วิธีที่1
1 4 9 16 25 36 49 64 81 ...... an=?(โจทย์)
_3 5 7 9 11 13 15 17 ...... bn=2n+1
__2 2 2 2 2 2 2 ...... cn=2

ใช้สูตร an=a1+d1(n-1,C,1)+d2(n-1,C,2)+... เมื่อ a1,d1,d2,... คือตัวเลขหน้าสุดของแต่ละแถว
an=1+3(n-1,C,1)+2(n-1,C,2)
an=1+3(n-1)+2(n-1)(n-2)/2
an=1+3n-3+n^2-3n+2
an=n^2
อยากทราบที่มาของสูตรนี้ครับ

วิธีที่2
จากรูปในวิธีที่1มี2ชั้นถึงชั้นคงดีดังนั้นเป็นลำดับพหุนามดีกรี2 ให้
an=xn^2+yn+z
a1= 1=x+y+z ...............*
a2= 4=4x+2y+z ...............**
a3= 9=9x+3y+z ...............***
แก้สมการทั้งสามจะได้ (x,y,z)=(1,0,0)

วีธีที่3
จากรูป bn=2n+1
ดังนั้น sigma bn=n^2+2n
ดังนั้น an= n^2+2n+xn+y (ถ้ากำลังสูงสุดของ an เป็น m ต้องบวกด้วยลำดับพหุนามดีกรี m-1)งงตรงนี้อะครับ
แก้สมการหา (x,y) จากการแทน a1=1 และ a2=4จะได้ (x,y)=(-2,0)
แทนใน an จะได้ an=n^2

นอกจากวิธีเหล่านี้แล้วยังมีวิธีอื่นๆอีกไหมครับ ถ้ามีลิงค์แนะนำก็ขอด้วยนะครับ

[TOP]

ที่มาของวิธีที่ 1 ในเอกสารที่พี่กรส่งลิงก์ไปให้น้องล่าสุด หน้า 62 - 66 เขียนไว้ชัดเจนแล้วครับ

สูตรนี้หาที่มาได้ไม่ยาก อาศัยการคำนวณอนุกรมเลขคณิตซ้อนขึ้นมาทีละชั้น ก็ได้คำตอบแล้ว แต่หากรู้จักสังเกตและตีความต่อไป ก็จะค้นพบอะไรมากขึ้นครับ (อย่าหยุดตรงพิสูจน์ได้แล้วก็หยุด ความคิดจะไม่งอกเงย ) เช่น จากสูตร

an =

ๆ ็ ่

n - 1 0

๖ ๚ ๘

d0 +

ๆ ็ ่

n - 1 1

๖ ๚ ๘

d1 +

ๆ ็ ่

n - 1 2

๖ ๚ ๘

d2 + ... +

ๆ ็ ่

n - 1 k

๖ ๚ ๘

dk

จะพบว่า
1. ค่าคงที่เริ่มต้นของลำดับแต่ละขั้น (d_k) เป็นองค์ประกอบหลักของ a_n เท่านั้น ทำไม
2. จากข้อ 1. ค่าที่คูณกับค่าเริ่มต้นของลำดับแต่ละขั้น ( ^n-1C_k ) ตีความได้ว่าอย่างไร และมันไปเกี่ยวข้องกับ การเรียงสับเปลี่ยนได้อย่างไร
3. จากข้อ 2. หากน้องลองกลับไปมอง สามเหลี่ยมปาสคาลอีกครั้ง นั่นไง เห็นลำดับแบบนี้ชัดเจน !!! (ดูเหมือนว่า เราสามารถสร้างลำดับแต่ละขั้นของเรา ในสามเหลี่ยมปาสคาลได้ ด้วยการเปลี่ยนค่าเริ่มต้นของ แต่ละคอลัมน์ในสามเหลี่ยมปาสคาล ด้วยค่าในข้อ 1.)
4. จากข้อ 3. สูตรของสามเหลี่ยมปาสคาล ที่ช่วยให้หาที่มาของสูตรข้างบนได้ง่ายๆ คือ

ๆ ็ ่

n r

๖ ๚ ๘

=

n - 1 S k = r - 1

ๆ ็ ่

k r - 1

๖ ๚ ๘

=

n - 1 S k = 0

ๆ ็ ่

k r - 1

๖ ๚ ๘

=

n S k = 1

ๆ ็ ่

k - 1 r - 1

๖ ๚ ๘

หรือ

ๆ ็ ่

n - 1 r + 1

๖ ๚ ๘

=

n - 1 S k = 1

ๆ ็ ่

k - 1 r

๖ ๚ ๘

(พิสูจน์สูตรนี้ด้วยการมองความหมาย ทางการเรียงสับเปลี่ยนได้ไม่ยากครับ)
5. จากสูตรข้อ 4. เห็นได้ชัดเจนว่าเมื่อเราหา ค่าอนุกรมเลขคณิตซ้อนขึ้นไปทีละขั้น จะได้รูปแบบตรงกับ รูปแบบของค่าที่คูณกับ ค่าเริ่มต้นของลำดับแต่ละขั้น ในข้อ 2. ( ^n-1C_k )

ก็เป็นการมองแบบคร่าวๆ แต่หากใครอยากมองลึกไปกว่านี้ และค้นพบอะไรน่าสนใจ บอกกันได้ครับ

[shymaan]

สนใจกระทู้นี้ครับ แต่สัญลักษณ์ ที่ คุณ TOP เขียน อ่านไม่่ค่อยออก

คนไหนเข้าใจช่วยอธิบายด้วย

[TOP]

อันนั้นเป็นวิธีป้อนสมการแบบโบราณนะครับ ต้องอ่านด้วย IE เท่านั้นจึงจะเข้าใจ
ข้อความนั้นเขียนไว้นานจนจำไม่ได้แล้วว่าคิดอะไรในใจ

ลองพิจารณาสามเหลี่ยมปาสคาลตามแนวทะแยงมุมให้ดี เราจะพบรูปแบบเดียวกัน
\[\matrix{
& & & & & & & & & & \style{background-color: #996600;}{1} & & & & & & & & & & \\
& & & & & & & & & \style{background-color: #cc9900;}{1} & & \style{background-color: #996600;}{1} & & & & & & & & & \\
& & & & & & & & \style{background-color: #ffcc00;}{1} & & \style{background-color: #cc9900;}{2} & & \style{background-color: #996600;}{1} & & & & & & & & \\
& & & & & & & \style{background-color: #ffff00;}{1} & & \style{background-color: #ffcc00;}{3} & & \style{background-color: #cc9900;}{3} & & \style{background-color: #996600;}{1} & & & & & & & \\
& & & & & & \style{background-color: #ffff83;}{1} & & \style{background-color: #ffff00;}{4} & & \style{background-color: #ffcc00;}{6} & & \style{background-color: #cc9900;}{4} & & \style{background-color: #996600;}{1} & & & & & & \\
& & & & & \style{background-color: #ffdb9d;}{1} & & \style{background-color: #ffff83;}{5} & & \style{background-color: #ffff00;}{10} & & \style{background-color: #ffcc00;}{10} & & \style{background-color: #cc9900;}{5} & & \style{background-color: #996600;}{1} & & & & & \\
& & & & \style{background-color: #ffcc66;}{1} & & \style{background-color: #ffdb9d;}{6} & & \style{background-color: #ffff83;}{15} & & \style{background-color: #ffff00;}{20} & & \style{background-color: #ffcc00;}{15} & & \style{background-color: #cc9900;}{6} & & \style{background-color: #996600;}{1} & & & & \\
& & & \style{background-color: #ff9933;}{1} & & \style{background-color: #ffcc66;}{7} & & \style{background-color: #ffdb9d;}{21} & & \style{background-color: #ffff83;}{35} & & \style{background-color: #ffff00;}{35} & & \style{background-color: #ffcc00;}{21} & & \style{background-color: #cc9900;}{7} & & \style{background-color: #996600;}{1} & & & \\
& & \style{background-color: #ff794b;}{1} & & \style{background-color: #ff9933;}{8} & & \style{background-color: #ffcc66;}{28} & & \style{background-color: #ffdb9d;}{56} & & \style{background-color: #ffff83;}{70} & & \style{background-color: #ffff00;}{56} & & \style{background-color: #ffcc00;}{28} & & \style{background-color: #cc9900;}{8} & & \style{background-color: #996600;}{1} & & \\
& \style{background-color: #ff3300;}{1} & & \style{background-color: #ff794b;}{9} & & \style{background-color: #ff9933;}{36} & & \style{background-color: #ffcc66;}{84} & & \style{background-color: #ffdb9d;}{126} & & \style{background-color: #ffff83;}{126} & & \style{background-color: #ffff00;}{84} & & \style{background-color: #ffcc00;}{36} & & \style{background-color: #cc9900;}{9} & & \style{background-color: #996600;}{1} & \\
\style{background-color: #990000;}{1} & & \style{background-color: #ff3300;}{10} & & \style{background-color: #ff794b;}{45} & & \style{background-color: #ff9933;}{120} & & \style{background-color: #ffcc66;}{210} & & \style{background-color: #ffdb9d;}{252} & & \style{background-color: #ffff83;}{210} & & \style{background-color: #ffff00;}{120} & & \style{background-color: #ffcc00;}{45} & & \style{background-color: #cc9900;}{10} & & \style{background-color: #996600;}{1}
}\]
ลำดับเลข $1, 1, 1, 1, \ldots$ ที่ทะแยงมุมด้านขวาสุด เป็นผลต่างขั้นสุดท้ายที่เป็นค่าคงที่
ลำดับเลข $1, 2, 3, 4, \ldots$ ถัดมาเป็นลำดับเลขคณิตธรรมดา
ลำดับเลข $1, 3, 6, 10, \ldots$ ถัดมาเป็นลำดับเลขคณิตขั้นที่สอง
ลำดับเลข $1, 4, 10, 20, \ldots$ ถัดมาเป็นลำดับเลขคณิตขั้นที่สาม
ไปเรื่อยๆ

ลองหยิบเลขมาสังเกตสักค่าหนึ่งเช่น $210 = \binom{10}{4}$
\[\matrix{
& & & & & & & & & & 1 & & & & & & & & & & \\
& & & & & & & & & 1 & & 1 & & & & & & & & & \\
& & & & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & & & & & \\
& & & & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & & & & & \\
& & & & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & & & & & \\
& & & & & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & & & & & \\
& & & & \style{background-color: #ffcc00;}{a_1 = 1} & & \style{background-color: #ffff00;}{d_1 = 6} & & \style{background-color: #ffff00;}{d_2 = 15} & & \style{background-color: #ffff00;}{d_3 = 20} & & \style{background-color: #ffff00;}{d_4 = 15} & & 6 & & 1 & & & & \\
& & & 1 & & \style{background-color: #ffcc00;}{a_2 = 7} & & 21 & & 35 & & 35 & & 21 & & 7 & & 1 & & & \\
& & 1 & & 8 & & \style{background-color: #ffcc00;}{a_3 = 28} & & 56 & & 70 & & 56 & & 28 & & 8 & & 1 & & \\
& 1 & & 9 & & 36 & & \style{background-color: #ffcc00;}{a_4 = 84} & & 126 & & 126 & & 84 & & 36 & & 9 & & 1 & \\
1 & & 10 & & 45 & & 120 & & \style{background-color: #ffcc00;}{a_5 = 210} & & 252 & & 210 & & 120 & & 45 & & 10 & & 1
}\]
จากสูตร $a_n = \sum_{r=0}^{k} \binom{n-1}{r}d_r = \binom{n-1}{0}d_0 + \binom{n-1}{1}d_1 + \binom{n-1}{2}d_2 + \cdots + \binom{n-1}{k}d_k$
สมมติว่า เส้นทะแยงมุมในแนวของ $d_4$ เป็นค่าคงที่แล้ว นั่นคือ $k = 4$
จะได้ $a_5 = \binom{4}{0}d_0 + \binom{4}{1}d_1 + \binom{4}{2}d_2 + \binom{4}{3}d_3 + \binom{4}{4}d_4 = \binom{4}{0}\binom{6}{0} + \binom{4}{1}\binom{6}{1} + \binom{4}{2}\binom{6}{2} + \binom{4}{3}\binom{6}{3} + \binom{4}{4}\binom{6}{4} = 210$ จริง

เมื่อใช้สูตรนี้กับกรณีทั่วไปในสามเหลี่ยมปาสคาลจะพบว่า
\[
\binom{n}{r} = \binom{r}{0}\binom{n-r}{0} + \binom{r}{1}\binom{n-r}{1} + \binom{r}{2}\binom{n-r}{2} + \cdots + \binom{r}{r}\binom{n-r}{r} = \sum_{k=0}^{r} \binom{r}{k}\binom{n-r}{k}
\]

มองการพิสูจน์เชิง Combinatoric ออกไหมว่าทำไมจึงเป็นจริง

Combinatorial Proof

วิธีการเลือกของ $r$ ชิ้นจากของที่แตกต่างกัน $n$ ชิ้น นอกจากจะใช้วิธีเลือกของที่ต้องการให้ได้ครบ $r$ ชิ้นตามจำนวนที่ต้องการแล้ว
เราอาจเปลี่ยนเป็นเลือกของที่ไม่ต้องการให้ได้ครบ $n-r$ ชิ้นก็ได้ ของที่ไม่ได้เลือกออกมา ($r$ ชิ้น) ก็คือของที่เราต้องการนั่นเอง

ให้เราแบ่งของ $n$ ชิ้นนั้น เป็น $2$ กลุ่ม กลุ่มแรกมี $r$ ชิ้น อีกกลุ่มหนึ่งมี $n-r$ ชิ้น

ขั้นแรก เลือกของที่เราไม่ต้องการออกมาจากกลุ่มแรก $k$ ชิ้น ได้ทั้งหมด $\binom{r}{k}$ วิธี
ขั้นที่สอง เลือกของที่เราไม่ต้องการออกมาจากกลุ่มที่สอง $(n-r)-k$ ชิ้น ได้ทั้งหมด $\binom{n-r}{n-r-k}$ วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดคือ
\[
\binom{n}{r} = \sum_{k=0}^{r} \binom{r}{k}\binom{n-r}{n-r-k} = \sum_{k=0}^{r} \binom{r}{k}\binom{n-r}{(n-r) - (n-r-k)} = \sum_{k=0}^{r} \binom{r}{k}\binom{n-r}{k}
\]