|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ช่วยพิสูจน์หน่อยครับ (อสมการ)
ให้ $0<x\leqslant 1$ และ $n \in \mathbb{N}$ จงพิสูจน์ว่า $$1 \leq \frac{1+nx^{n+1}}{(n+1)x^n} \leq 1+\frac{n(1-x)^2}{2x^n}$$
ขอบคุณครับ 18 พฤษภาคม 2009 21:38 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ James007 |
#2
|
||||
|
||||
$0<x\geq1$?
ฝั่งซ้าย ชัดเจนโดย AM-GM ฝั่งขวา กระจาย ได้ว่าจะต้องพิสูจน์ $2+2nx^{n+1}\leq 2(n+1)x^n+n(n+1)(1-x)^2$ หาก $n=1$ ได้ว่าอสมการเป็นสมการ ต่อไป หาก $n\geq 2$ ให้ $P(x)=2+2nx^{n+1}-(2(n+1)x^n+n(n+1)(1-x)^2)$ ได้ว่าต้องแสดงว่า $P(x)\leq 0$ ได้ว่า $P'(x)=2n(n+1)(x-1)^2(x^{n-2}+x^{n-3}+...+1)\geq0;\forall x\in\mathbb{R}^{+}$ ดังนั้น $P(x)$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง $(0,1]$ นั่นคือ $P(x)\leq P(1)=0$ ตามต้องการ |
#3
|
||||
|
||||
ขอบคุณคุณ owlpenguin มากครับ
ว่าแต่ว่าไม่มีวิธีที่ง่ายกว่านี้หรอครับ คือว่า ฝั่งซ้าย AM-GM ยังไงหรอครับ คือผมทำแบบนี้ครับ $1 \leq \frac{1+nx^{n+1}}{(n+1)x^n} \Leftrightarrow nx^n(1-x)+(1-x^n) \geq 0$ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นจริงครับ 19 พฤษภาคม 2009 20:59 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ James007 |
#4
|
||||
|
||||
เอ่อ ควรไปถามที่ห้อง ม.ปลายดีกว่านะครับ
เพราะคนใหม่ที่เข้ามาอ่าน อาจจะงง ว่าตัวเองเข้าผิดห้องรึเปล่า -_-
__________________
ทำให้เต็มที่ที่สุด ยังมีที่ว่างเหลือเฟือของคนเก่งที่เผื่อไว้ให้คนที่พยายาม สู้ต่อไป... มันยังไม่จบแค่นี |
#5
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ฝั่งขวา คิดว่ามีวิธีอื่นนอกจากนี้ จะลองคิดดูครับ |
#6
|
||||
|
||||
ขอบคุณคุณ owlpenguin อีกทีนะครับ
ขอโทษด้วยครับ ตอนแรกไม่คิดว่าจะต้องใช้วิธียากขนาดนี้ |
|
|