ค่าสูงสุด

[Metamorphosis]

กำหนด $a,b,c \in \mathbb{R^+} $

ให้ $x\oplus y = (x+y)^3$
และ $a^3+b^3+c^3 = 8$

หาค่าสูงสุดของ $(a\oplus 3)+(b\oplus 4)+(c\oplus 5)$

[Metamorphosis]

คิดไม่ออกอะ = ='' เอิ่ม Any ideas?

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

กำหนด $a,b,c \in \mathbb{R^+} $

ให้ $x\oplus y = (x+y)^3$
และ $a^3+b^3+c^3 = 8$

หาค่าสูงสุดของ $(a\oplus 3)+(b\oplus 4)+(c\oplus 5)$

$$(a\oplus 3)+(b\oplus 4)+(c\oplus 5)=(a^3+b^3+c^3+3^3+4^3+5^3)+3(3a^2+3^2a+4b^2+4^2b+5c^2+5^2c)$$
$$=224+3(3a^2+3^2a+4b^2+4^2b+5c^2+5^2c)$$
จาก Rearanger ment $x^2y+y^2x\leq x^3+y^3$
$$(a\oplus 3)+(b\oplus 4)+(c\oplus 5)\leq 224+3(a^3+27+b^3+64+c^3+125)=896$$

[tegonata]

ขอบคุณค่า
ไม่ได้ถามแต่มาเอาความรุ้ 55
มันคือเรื่องอะไรของม.อะไรอ่ะคะ

จาก Rearanger ment x2y+y2x≤x3+y3

มันคืออะไรอ่ะคะไม่ค่อยเข้าใจ

[จูกัดเหลียง]

#4 คือจริงๆเเล้วมันผิดนะครับ (เป็นจริงเเต่ทฤษฎี = =")
เพราะว่า สมการจะเป็นจริงเมื่อ $a=3,b=4,c=5$ ซึ่ง $a^3+b^3+c^3\not =8$
$(x^2)y+(y^2)x\leq x^2(x)+y^2(y)=x^3+y^3$ มันเป็นอสมการ Rearanger ment

[tegonata]

คือที่มันผิดคือวิธีทำ รึว่า โจทย์
มันคือเรื่อง อสมการ หรอคะ
มีโจทย์แยวนี้อีกมั้ยอ่ะคะ
รู้สึก งงๆ อยากลองฝึกทำอ่ะค่ะ

[จูกัดเหลียง]

มันเป็นอสมการสำเร็จรูปเพื่อใช้ในการพิสูจน์ครับ
โจทย์ อย่างเช่น จงหาค่าสูงสุดของ $ab$ เมื่อ $a+b=1$

[กิตติ]

มาจากแบบนี้หรือเปล่าครับ
$x,y\in R^+$
$(x-y)^2 \geqslant 0$
$x^2-xy+y^2 \geqslant xy$
$(x+y)(x^2-xy+y^2) \geqslant xy(x+y)$
$x^3+y^3 \geqslant x^2y+xy^2$

ข้อนี้ผมทำไปก็ติดเหมือนกัน ขอบคุณคุณจูกัดเหลียงมากที่ใช้วิธีที่แสดง ได้เปิดหูเปิดตาเยอะเลยครับ ชอบครับ

[จูกัดเหลียง]

#8 ใช่เเล้วครับ