โจทย์ปัญหาอัตราเร็ว

[Ne[S]zA]

รถไฟ $2$ ขบวนวิ่งบนรางเดียวกันเข้าหากันด้วยอัตราเร็ว $20 m/s$ เท่ากันทั้ง $2$ ขบวน ในขณะที่หัวรถไฟทั้งคู่ห่างกัน $40$ เมตรนกตัวหนึ่งซึ่งบินได้เร็ว $40 m/s$ เริ่มบินจากหัวรถของขบวนหนึ่งไปยังอีกขบวนหนึ่ง พอไปถึงอีกขบวนหนึ่งก็บินกลับขบวนเดิม กลับไปกลับมาเช่นนี้
จงหา 1)นกจะบินกลับได้กี่เที่ยวก่อนที่รถไฟจะชนกัน 2)ระยะทางทั้งหมดที่นกบินได้
ปล.ข้อนี้อาจจะจำเป็นต้องใช้ฟิสิกส์เข้าช่วยนะครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

รถไฟ $2$ ขบวนวิ่งบนรางเดียวกันเข้าหากันด้วยอัตราเร็ว $20 m/s$ เท่ากันทั้ง $2$ ขบวน ในขณะที่หัวรถไฟทั้งคู่ห่างกัน $40$ เมตรนกตัวหนึ่งซึ่งบินได้เร็ว $40 m/s$ เริ่มบินจากหัวรถของขบวนหนึ่งไปยังอีกขบวนหนึ่ง พอไปถึงอีกขบวนหนึ่งก็บินกลับขบวนเดิม กลับไปกลับมาเช่นนี้
จงหา 1)นกจะบินกลับได้กี่เที่ยวก่อนที่รถไฟจะชนกัน 2)ระยะทางทั้งหมดที่นกบินได้
ปล.ข้อนี้อาจจะจำเป็นต้องใช้ฟิสิกส์เข้าช่วยนะครับ

นกของคุณNe[S]zA's บินเร็วกว่ารถไฟอีก

ความเร็วรถไฟวิ่งหากันรวม = 20+20 = 40 m/s
ตอนชนกัน ก็ต้องวิ่งได้ 20 m ใช้เวลา 1 s


เดี๋ยวมาต่อ ..

[Ne[S]zA]

ข้อนี้ผมจำได้ว่านกบินไป-กลับได้ $\infty $ ครั้ง
ตอนนี้ไม่มีเฉลยในมือครับอยู่ที่เรียนพิเศษ

[banker]

คือจะบอกว่า รถไฟชนกัน ใช้เวลา 1 วิ ดังนั้นตอนชนกัน นกก็ใช้เวลาบินไปมารวม 1 วิ เช่นกัน ดังนั้น นกบินได้ระยะทาง 40 เมตร

ส่วนจะบินกี่เที่ยว เท่าที่ดู ก็น่าจะแตะได้ครั้งเดีียว ไม่ทันจะถึงการแตะครั้งที่ 2 ก็ ตูมแล้วครับ

คือพอแตะครั้งแรก บินกลับมาถึงครึ่งทาง (จุดกึ่งกลาง) รถไฟก็ชนกันแล้ว

กำลังดูว่า จะทันแตะครั้งที่ 2 หรือเปล่า


ส่วน $\infty $ ครั้ง คงไม่ใช่
ถ้าใช่ก็คงเป็นวิญญาณนกตัวนั้นที่บินวนเวียนแถวนั้น

[LightLucifer]

ผมว่าเที่ยวเดียวระยะทาง 40 เมตรนะ

[Ne[S]zA]

พรุ่งนี้จะมาเฉลยนะครับ
เพราะเฉลยอยู่ที่ครูที่สอนพิเศษ

[banker]

จากรูปข้างบน
หัวรถไฟ A และ Bห่างกัน 40 เมตร
D เป็นจุดชนกัน (ครึ่งทาง 20 เมตร)
C เป็นจุดที่นกแตะหัวรถไฟ B ครั้งแรก

เนื่องจาก นกบิน 40 m/s และ B วิ่ง 20 m/s เป็นอัตราส่วน 2 : 1
ดังนั้น ที่จุด C ในเวลาที่เท่ากัน นกบินได้ระยะทาง 2 ส่วน รถไฟ B วิ่งได้ 1 ส่วน
นกจึงบินได้ระยะทาง $\frac{80}{3}$ m และรถไฟวิ่งได้ระยะทาง $\frac{40}{3}$ m

รถไฟ B วิ่ง 20 เมตร ใช้เวลา 1 วิ
รถไฟ B วิ่ง $\frac{40}{3}$ เมตร ใช้เวลา $\frac{2}{3}$ วิ


หยุดเวลาตรงนี้ก่อน
สรุปว่า นกแตะรถไฟ B ครั้วแรก ใช้เวลา $\frac{2}{3}$ วิ ระยะทาง B----> C = $\frac{40}{3}$ เมตร

จากจุด C มาจุด D เหลือระยะทาง = 20 - $\frac{40}{3}$ = $\frac{20}{3}$ ม และเหลือเวลา $\frac{1}{3}$ วิ ก่อนชน

ในเวลา $\frac{1}{3}$ วิ นกบินกลับได้ระยะทาง $\frac{40}{3}$
แสดงว่า มันต้องทันแตะรถไฟ A ก่อนที่จะมีการชนกัน (แตะครั้งที่ 2)

ส่วนจะมีการแตะครั้งที่ 3 หรือไม่ เดี๋ยวกลับมาต่อครับ

[banker]

เมื่อคืนนี้ กลับไปคิดดูแล้ว พบว่า
ระยะทางที่มันบินไปบินมา ค่อยๆลดลงแบบเดียวกับการแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกา
นั่นก็คือระยะทางจะสั้นลงเรื่อยๆ จนลูกตุ้มนาฬิกาหยุดแกว่ง
ที่เขาเรียกฮาร์โมนี่ (หรือเปล่าครับ)

ถ้าแบ่งเศษเสี้ยวเวลาไปเรื่อยๆแบบไม่มีที่สิ้นสุด
การบินเกาะของนกก็จะไม่มีวันสิ้นสุด และรถไฟก็จะไม่ชนกัน
(แบบเดียวกับลูกตุ้มนาฬิกา ถ้าไม่มีแรงเสียดทาน มันอาจแกว่งไม่หยุด แต่จะช้าลงจนเรามองไม่เห็นความช้าของมันก็ได้)

ดังนั้นถ้าเราเขียนสมการระยะทางบินของนก ก็จะได้ว่า

40 = $\frac{80}{3} + \frac{80}{3^2} + \frac{80}{3^4} + ......+ \frac{80}{3^n} $
$\frac{1}{2} = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^4} + ......+ \frac{1}{3^n} )$


ถึงตรงนี้ ก็ทำต่อไม่เป็นแล้วครับ

ถ้าเป็นข้อสอบแสดงวิธีทำ ผมก็จะตอบว่า
1. $\frac{1}{2} = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^4} + ......+ \frac{1}{3^n} )$ ติดสมการไว้อย่างนี้แหละ คงมีคะแนนให้บ้าง
2. ระยะทางทั้งหมด 40 เมตร


แต่ถ้าเป็นข้อสอบเติมคำตอบ ก็จะตอบว่า
1. $\infty $ ครั้ง
2. ระยะทางทั้งหมด 40 เมตร

[Ne[S]zA]

ถูกต้องแล้วคร้าบบบบ
นิดนึงครับ
เวลาที่รถไฟชนกันคือ $1$ วินาที เพราะฉะนั้นนกจะใช้เวลาในการบินทั้งหมด $1$ วินาทีด้วย
เพราะฉะนั้น
$$1=\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+...+\frac{2}{3^n}$$
$$1=\frac{2}{3} [\frac{1-\frac{1}{3^n}}{1-\frac{1}{3}}]=\frac{2}{3}\times\frac{3}{2}\times(1-\frac{1}{3^n})$$
$$1=1-\frac{1}{3^n}$$
$$\frac{1}{3^n}=0 \therefore n=\infty $$