เรื่อง ฟังก์ชันจำนวนเต็มมากที่สุด

[Kurosaki]

ในการเขียน 1000! ในรูปของจำนวนเต็มจะมีศูนย์ลงท้ายเรียงต่อเนื่องกันกี่ตัว

ผมไม่เข้าใจหลักการทำอะไรครับ ช่วยสอนหน่อยครับ

[gon]

หลักการคือ 10 หนึ่ง ตัว จะเกิดจาก 2 หนึ่งตัว คูณกับ 5 หนึ่งตัว

เช่น $10! = (10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = [(2)(5)][(3)(3)][(2)(2)(2)](7)[(2)(3)](5)[(2)(2)](3)(2)(1)$

$= 2^8\cdot5^2\cdot3^4\cdot7 = (2^25^2)2^6\cdot3^4\cdot7 = 2^6\cdot3^4\cdot7\cdot 10^2$

ดังนั้น 10! จะลงท้ายด้วย 0 สองตัว

จะเห็นว่าใน 10! จะมี 2 คูณอยู่ 8 ตัว และ มี 5 คูณอยู่ 2 ตัว ซึ่งมี 2 มากกว่า 5

ดังนั้น 5 ที่มีอยู่ 2 ตัว จะเป็นตัวคุม

และจำนวนตัวของ 5 ที่คูณอยู่ใน n! จะมีน้อยกว่าจำนวนตัวของ 2 ที่คูณอยู่เสมอ

ทั้งนี้เพราะว่า จำนวนเต็มที่เรียงต่อกัน จะเป็นจำนวนคู่ สลับกับจำนวนคู่ หรือทุก ๆ 2 ตัว จะมีจำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัวเสมอ

แต่ในขณะที่จำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว จะปรากฏทุก ๆ 5 ตัว

การถามว่า n! ลงท้ายด้วย 0 กี่ตัว ก็คือการถามว่า มี 5 คูณอยู่ทั้งหมดกี่ตัวนั่นเอง

ซึ่งจะมีจำนวนเท่ากับ

$[\frac{n}{5}] + [\frac{n}{5^2}] + [\frac{n}{5^3}] + ... + [\frac{n}{5^k}]$ เมื่อ $n \ge 5^k$

เช่น 80! ลงท้ายด้วย 0 ทั้งสิ้น

$[\frac{80}{5}] + [\frac{80}{5^2}] = 16 + 3 = 19$ ตัว.

[Hirokana]

คือ แล้วถ้าอยาก หาตัวเลขที่ไม่ใช่ 0 ละครับ แบบเลขโดด 2 ตัวสุดท้ายที่ไม่ใช่ 0 จะทำอย่างไร

10! จะมีเลขโดด 2 ตัวสุดท้ายที่ไม่ใช่ 0 เป็นเลขใด

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Hirokana

คือ แล้วถ้าอยาก หาตัวเลขที่ไม่ใช่ 0 ละครับ แบบเลขโดด 2 ตัวสุดท้ายที่ไม่ใช่ 0 จะทำอย่างไร

10! จะมีเลขโดด 2 ตัวสุดท้ายที่ไม่ใช่ 0 เป็นเลขใด

วิธีนึงคือ กดเครื่องคิดเลขครับ

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Hirokana

คือ แล้วถ้าอยาก หาตัวเลขที่ไม่ใช่ 0 ละครับ แบบเลขโดด 2 ตัวสุดท้ายที่ไม่ใช่ 0 จะทำอย่างไร

10! จะมีเลขโดด 2 ตัวสุดท้ายที่ไม่ใช่ 0 เป็นเลขใด

ผมหาได้แค่ ตัวสุดท้ายที่ไม่ใช่เลขศูนย์ครับ (ใช้ modulo)

[จูกัดเหลียง]

ทำยังไงครับ = =a

[nooonuii]

ถ้าตัวเลขน้อยๆก็พอทำได้ครับแต่อาจจะยุ่งยากหน่อย

[จูกัดเหลียง]

แล้วทำยังไงอ่ะครับ

[nooonuii]

เขียน $10!=2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot7=(2^2\cdot 5^2)(2^6\cdot 3^4\cdot 7)$

จะหาสองตัวท้ายที่ไม่ใช่ศูนย์ก็เหมือนหาสองตัวท้ายของ $2^6\cdot 3^4\cdot 7$ ซึ่งไม่น่าจะยากมากแล้วล่ะ

แต่วิธีนี้ใช้ได้กับจำนวนน้อยๆ ถ้าจำนวนขนาดใหญ่อาจจะต้องพึ่ง Chinese Remainder Theorem ครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เขียน $10!=2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot7=(2^2\cdot 5^2)(2^6\cdot 3^4\cdot 7)$

จะหาสองตัวท้ายที่ไม่ใช่ศูนย์ก็เหมือนหาสองตัวท้ายของ $2^6\cdot 3^4\cdot 7$ ซึ่งไม่น่าจะยากมากแล้วล่ะ

แต่วิธีนี้ใช้ได้กับจำนวนน้อยๆ ถ้าจำนวนขนาดใหญ่อาจจะต้องพึ่ง Chinese Remainder Theorem ครับ

ขอบคุณครับ

[Hirokana]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เขียน $10!=2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot7=(2^2\cdot 5^2)(2^6\cdot 3^4\cdot 7)$

จะหาสองตัวท้ายที่ไม่ใช่ศูนย์ก็เหมือนหาสองตัวท้ายของ $2^6\cdot 3^4\cdot 7$ ซึ่งไม่น่าจะยากมากแล้วล่ะ

แต่วิธีนี้ใช้ได้กับจำนวนน้อยๆ ถ้าจำนวนขนาดใหญ่อาจจะต้องพึ่ง Chinese Remainder Theorem ครับ

ขอบคุณมากครับ