AIME

[Slurpee]

Compute
$$\frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)}$$
ขอแนวคิดหน่อยครับไม่รู้ว่าจะเริ่มยังไงดีครับ

[zzz123]

$x^4+324=(x^2+18)^2-36x^2=((x-3)^2+9)((x+3)^2+9)$

[Slurpee]

ผมหาได้ 373 ครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Slurpee

Compute
$$\frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)}$$
ขอแนวคิดหน่อยครับไม่รู้ว่าจะเริ่มยังไงดีครับ

$ x^4 + 4y^4 = ???$

[Slurpee]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

$ x^4 + 4y^4 = ???$

รบกวนอธิบายเพิ่มเติมด้วยครับ

[Siren-Of-Step]

นั่ง แยกตัวประกอบเล่นๆ

$x^4 + 4y^4 = (x^2)^2 + 4x^2y^2 +(2y^2)^2 - 4x^2y^2$

$=(x^2+2y^2)^2 - (2xy)^2$

$(x+2y^2-2xy)(x+2y^2+2xy)$
$((x-y)^2+y^2)((x+y)^2 + y^2))$

จากโจทย์
$10^4 + 324 = 10^4 + 4(3^4)$
$=(7^2+3^2)(10^2 + 3^2)$

$4^4 + 324$
$ = (1 + 3^2)(7^2+3^2)$

..

.

[TimeTimeFruit]

ข้อนี้เคยเป็นข้อสอบกลางภาคที่ ร.ร.เตรียมฯ ด้วยนิครับ รู้สึกจะตอบ 373

ใช้หลักว่า $n^4+324=\left(n^2+6n+18\,\right)\left(n^2-6n+18\,\right)$ แล้วตัดกันหมด

ปล.ที่มา ลองแยก factor เล่นๆนะครับ มากจากแบบเดียวกับพี่ Siren-Of-Step ครับ