พิสูจน์เกี่ยวกับตรีโกณ

[kanji]

กำหนด $f(a,b,c)=1.5-\sin\frac{a}{2}-\sin\frac{b}{2}-\sin\frac{c}{2}$
เมื่อ $a+b+c=\pi$

จงแสดงว่า $f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2}) \geq 0$

[R-Tummykung de Lamar]

เอ..ผมว่าโจทย์น่าจะผิดนะครับ
เพราะถ้าลองแทน $a=\pi\quad b=c=\frac{\pi}2$
นั่นคือ $$f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2}) =1.5-\sin \frac{\pi}2-\sin \frac{\pi}2-\sin \frac{\pi}2=-1.5\not\geq 0$$

---

ผมเดาว่า
$$f(a,b,c)=1.5-\frac{\sin a}{2}-\frac{\sin b}{2}-\frac{\sin c}{2}$$
มากกว่านะครับ
นั่นคือ $$f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2}) =1.5-(\frac{\sin a}2+\sin (b+c))$$
สังเกตว่า $\sin$ แต่ละตัวในวงเล็บมีค่าสูงสุดคือ 1
ก็จะได้ $f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2}) \geq 0$ ตามต้องการครับ

[kanji]

ผมเพิ่มเงื่อนไขแล้วนะครับ $a+b+c=\pi$
ช่วยคิดหน่อยนะครับ

[passer-by]

เมื่อแทนค่าด้วยสูตรตรีโกณมิติ ม.ปลาย แล้ว สิ่งที่ต้องการพิสูจน์จะเหลือเพียง

$$ \sin\frac{a}{2}+\sqrt{2}(\cos\frac{a}{4}-\sin\frac{a}{4}) \leq \frac{3}{2} $$

ถ้า $ x=\cos\frac{a}{4}-\sin\frac{a}{4} $ แล้ว

$ \sin\frac{a}{2}= 1-x^{2} $

ดังนั้น $ \text {L.H.S.} = -(x^{2}-\sqrt{2}x-1) =\frac{3}{2}-(x-\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} \leq\frac{3}{2} $