ลำดับอนุกรมและลิมิต

[t.B.]

1.ให้ $T_n = 1+2+3+...+n$ และ $P_n = \left(\frac{T_2\times T_3\times ...\times T_n}{(T_2-1)(T_3-1)...(T_n-1)} \right) $สำหรับ $n=2,3,...$ จงหาลิมิตของลำดับนี้
2.สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ กำหนดให้ $f(n)=\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+2n+1} +\sqrt[3]{n^2-1} +\sqrt[3]{n^2-2n+1} } $ จงหาค่าของ $f(1)+f(3)+f(5)+...+f(999,997)+f(999,999)$
3.ให้ $a_1,a_2,a_3,...,a_n,..$ เป็นลำดับคอนเวอร์เจนต์ที่มีลิมิตเป็น $3$ และ $b_1,b_2,b_3,...,b_n,...$ เป็นลำดับเรขาคณิตที่มี $b_1=5$ และ $อัตราส่วนร่วม=r$ และ $b_n=a_n-a_{n-1}$ ทุกๆค่า $n\in {1,2,3,4,...}$ ถ้าอนุกรมอนันต์ $\sum_{n = 1}^{\infty} b_n$ เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์ แล้วคู่อันดับ $(a_1,r)$ สอดคล้องกับสมการในข้อใด
ก.$(x-5)(3y+2)=0$ ข.$x-5=3(1-y)+5$ ค.$x=\frac{3-8y}{1-y} $ ง.$x=\frac{5}{y-1} +3$
4.จงหาค่าของอนุกรม $1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\frac{1}{4} ....$

[nooonuii]

$0$ รึเปล่าหนอ

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$0$ รึเปล่าหนอ

จริงๆแล้วข้อแรกมีช้อยให้คือ ก.$2$ ข.$\frac{7}{3} $ค.$\frac{8}{3} $ง.3 อะครับ +ผมมาเพิ่มโจทย์ให้อีกข้อนะครับ(และอาจมีอีกเรื่อยๆ) แหะๆ ช่วงนี้คิดไม่ค่อยไรไม่ค่อยออกเลยครับ

[nooonuii]

1. $\dfrac{T_n}{T_n-1}=\dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{\dfrac{n(n+1)}{2}-1}=\dfrac{n(n+1)}{(n-1)(n+2)}$

ดังนั้น $$\frac{T_2\cdots T_n}{(T_2-1)\cdots (T_n-1)}=\Big(\frac{2\cdot 3}{1\cdot 4}\Big)\Big(\frac{3\cdot 4}{2\cdot 5}\Big)\cdots \frac{(n-2)(n-1)}{(n-3)n}\cdot \frac{(n-1)n}{(n-2)(n+1)}\cdot \frac{n(n+1)}{(n-1)(n+2)}$$
$$=\frac{2\cdot 3^2\cdot \big[4^2\cdots (n-1)^2\big]\cdot n^2(n+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot\big[4^2\cdots (n-1)^2\big]\cdot n(n+1)(n+2)}=\frac{3n}{n+2}$$

[nooonuii]

2. ใช้สูตรผลต่างกำลังสาม ได้ $$f(n)=\frac{\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1}}{2}$$

[t.B.]

ขอบคุณพี่ nooonuii มากครับสำหรับสองข้อแรก(วันนี้มาเพิ่มให้อีก2ข้อ)

[nooonuii]

3. ค
ได้สมการ $\dfrac{5}{1-r}=3-a_0=3+(b_1-a_1)=8-a_1$

4. พิสูจน์ว่า ทุกจำนวนนับ $n$
$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^n-1}+\frac{1}{2^n}\geq 1+\frac{n}{2}$$

[t.B.]

ขอบคุณครับสำหรับข้อ3 แต่ข้อ4นี่ยังงงๆอะครับ รู้ได้ยังไงว่าต้องเที่ยบกับ $1+\frac{n}{2} $ แล้วก็ $2^n$ นี่มาได้ยังไงครับ อธิบายเพิ่มที
ปล.ข้อ4นี่ใช่ comparisom test มั้ยครับ ถ้าใช่ช่วยอธิบายคร่าวๆให้ฟังหน่อยได้เปล่าครับเพราะยังไม่เคยเรียน

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

ขอบคุณครับสำหรับข้อ3 แต่ข้อ4นี่ยังงงๆอะครับ รู้ได้ยังไงว่าต้องเที่ยบกับ $1+\frac{n}{2} $ แล้วก็ $2^n$ นี่มาได้ยังไงครับ อธิบายเพิ่มที
ปล.ข้อ4นี่ใช่ comparisom test มั้ยครับ ถ้าใช่ช่วยอธิบายคร่าวๆให้ฟังหน่อยได้เปล่าครับเพราะยังไม่เคยเรียน

อสมการนี้มาจากการสังเกตครับ ทดลองบวกไปเรื่อยๆแล้วดูความสัมพันธ์ที่ได้ ซึ่งส่วนใหญ่เราจะพิสูจน์โดยใช้ induction $2^n$ นี่ก็มาจากการสังเกตอีกเช่นกัน เพราะว่าอนุกรมนี้ลู่ออกแต่ลู่ออกช้ามากๆครับ จะเห็นว่าเราต้องบวกไปถึง $2^n$ เทอมเราถึงจะแน่ใจว่าได้ค่าผลบวกมากกว่า $\dfrac{n}{2}$ ถ้ายังไม่เห็นภาพลองดูกรณี $n=10$ ครับ เราต้องบวกถึง $1024$ เทอมจึงจะแน่ใจว่าได้ผลบวกมากกว่า $5$

วิธีของผมไม่ใช่ comparison test ครับ แต่เป็นการมองที่ลำดับผลบวกย่อยของอนุกรมโดยตรง ถ้าเราให้ $n\to\infty$ ลำดับของผลบวกย่อยจะลู่เข้าหา $\infty$ ครับ ซึ่งก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าอนุกรมนี้ลู่ออก

[Arrogant]

ผมเดานะ

1.ตอบ2
2.ตอบ50
3.ตอบง.
4.ตอบ4.6

มั่วหมดนะ