ข้อนี้คิดไงอะครับ

[{([Son'car])}]

$ให้ p(x)=x^7+ax^6+bx^5+cx^3+dx^2+ex+f โดยที่a,b,c,d,e,f\epsilon \left\{\,\right. -1,0,1\left.\,\right\}
ถ้า p(x)=(x-1)^3q(x) แล้วq(1)มีค่าเป็นเท่าไร$

ช่วยแสดงวิธีคิดให้หน่อยครับเอาแบบสั้นๆแต่เข้าใจอะครับ

[nooonuii]

$x^7-x^6-x^5+x^3+x^2-x=x(x+1)(x^2+x+1)(x-1)^3$

Solution: ผมใช้วิธีเดียวกับคุณ nongtum ความเห็นข้างล่างครับ

แต่ถ้าจะเน้นก็คงเป็นสมการ $(3)$ ซึ่งสามารถลดรูปเป็น

$15a+10b+3c+d=-21$

สังเกตว่า ถ้า $a=0$ จะได้สมการ $10b+3c+d=-21$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้

เพราะอย่างมาก $b=c=d=-1$ ทั้งหมดก็ยังไปไม่ถึง $-21$

ถ้า $a=1$ จะได้สมการ $10b+3c+d=-36$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้เช่นกัน

ดังนั้น $a=-1$

ในทำนองเดียวกันจะได้ $b=-1$

สุดท้ายจะได้สมการ $3c+d=4$

ซึ่งมีคำตอบเดียวเท่านั้นคือ $c=d=1$

ที่เหลือก็ดูข้างล่างครับ

[nongtum]

มีหนึ่งวิธีที่ทำได้ แต่อาจไม่ครบถ้วนดังต่อไปนี้

เนื่องจาก $p(1)=p'(1)=p''(1)=0$ เราจะได้ว่า
$(1)\qquad 0=1+a+b+c+d+e+f$
$(2)\qquad 0=7+6a+5b+3c+2d+e$
$(3)\qquad 0=42+30a+20b+6c+2d$
โดยเงื่อนไขโจทย์ เราจะสังเกตเห็นว่า $a=b=-1,\ c=d=1$ เป็นคำตอบชุดหนึ่งที่เป็นไปได้ของ (3)
นำคำตอบชุดนี้ไปแทนใน (2) จะได้ $e=-1$ และเมื่อเอาไปแทนต่อใน (1) จะได้ $f=0$
ทำให้ $p(x)=x^7-x^6-x^5+x^3+x^2-x=x(x-1)^3(x^3+2x^2+2x+1)$
ดังนั้น $q(1)=1+2+2+1=6$

ปล. หวังว่าคงจะเห็นนะครับว่าแนวคิดนี้ขาดอะไรไปบ้าง ใครมีแนวคิดที่ดีกว่านี้ก็ช่วยแบ่งกันรับชมด้วยเน้อ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

มีหนึ่งวิธีที่ทำได้ แต่อาจไม่ครบถ้วนดังต่อไปนี้

เนื่องจาก $p(1)=p'(1)=p''(1)=0$ เราจะได้ว่า
$(1)\qquad 0=1+a+b+c+d+e+f$
$(2)\qquad 0=7+6a+5b+3c+2d+e$
$(3)\qquad 0=42+30a+20b+6c+2d$
โดยเงื่อนไขโจทย์ เราจะสังเกตเห็นว่า $a=b=-1,\ c=d=1$ เป็นคำตอบชุดหนึ่งที่เป็นไปได้ของ (3)
นำคำตอบชุดนี้ไปแทนใน (2) จะได้ $e=-1$ และเมื่อเอาไปแทนต่อใน (1) จะได้ $f=0$
ทำให้ $p(x)=x^7-x^6-x^5+x^3+x^2-x=x(x-1)^3(x^3+2x^2+2x+1)$
ดังนั้น $q(1)=1+2+2+1=6$

ปล. หวังว่าคงจะเห็นนะครับว่าแนวคิดนี้ขาดอะไรไปบ้าง ใครมีแนวคิดที่ดีกว่านี้ก็ช่วยแบ่งกันรับชมด้วยเน้อ

เป็นคำตอบชุดเดียวที่เป็นไปได้ครับ

[{([Son'car])}]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

มีหนึ่งวิธีที่ทำได้ แต่อาจไม่ครบถ้วนดังต่อไปนี้

เนื่องจาก $p(1)=p'(1)=p''(1)=0$ เราจะได้ว่า
$(1)\qquad 0=1+a+b+c+d+e+f$
$(2)\qquad 0=7+6a+5b+3c+2d+e$
$(3)\qquad 0=42+30a+20b+6c+2d$
โดยเงื่อนไขโจทย์ เราจะสังเกตเห็นว่า $a=b=-1,\ c=d=1$ เป็นคำตอบชุดหนึ่งที่เป็นไปได้ของ (3)
นำคำตอบชุดนี้ไปแทนใน (2) จะได้ $e=-1$ และเมื่อเอาไปแทนต่อใน (1) จะได้ $f=0$
ทำให้ $p(x)=x^7-x^6-x^5+x^3+x^2-x=x(x-1)^3(x^3+2x^2+2x+1)$
ดังนั้น $q(1)=1+2+2+1=6$

ปล. หวังว่าคงจะเห็นนะครับว่าแนวคิดนี้ขาดอะไรไปบ้าง ใครมีแนวคิดที่ดีกว่านี้ก็ช่วยแบ่งกันรับชมด้วยเน้อ

ทำไมถึงเท่ากับ 0 อะครับ

[nongtum]

#5
$p(x)=(x-1)^3q(x)$ ดังนั้น $p(1)=0$
$p'(x)=3(x-1)^2q(x)+(x-1)^3q'(x)$ ดังนั้น $p'(1)=0$
$p''(x)=6(x-1)q(x)+3(x-1)^2q'(x)+3(x-1)^2q'(x)+(x-1)^3q''(x)$ ดังนั้น $p''(1)=0$

[{([Son'car])}]

อ่อ ขอบคุณมากครับ