โจทย์เศษส่วนแบบนี้ มีวิธีคิดนอกจากแนวนี้ไหมคะ

[usenokia]

ช่วงนี้มีคุณหลานมาให้สอนการบ้านเยอะเลย

โจทย์
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{9}{10}$ จงหาค่าของ $a+b+c$
คุณอาทำ (ไม่รุถูกไหมนะคะ)
$\dfrac{9}{10}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{3}{3}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{3}\Rightarrow a+b+c=20$

แนวนี้จะใช่ไหมคะ หรือว่ามันมีวิธีสูตรสำเร็จ หรือมาตรฐานกว่านี้คะ

อีกข้อเห็นข้อสอบประกายกุหลาบที่คุณแนะนำกันมา

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{7}$ จงหาค่าของ $x+y+z$


แล้วถ้าเกิดบอก ว่า เป็นสมาชิกของเต็มบวกละคะ มันมีวิธีไหนที่เป็นมาตรฐานในการทำคะ

$\dfrac{3}{7}=\dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{7}=\dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{7}\cdot \dfrac{4}{4}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{28}+\dfrac{1}{4}\Rightarrow x+y+z=39$

ผิดถูกยังไงชี้แนะด้วยนะคะ ใครมีโจทย์แนวนี้ก็ขอหน่อยนะคะ เดี๋ยวจะไปให้หลานตัวดีทำ รู้สึกว่า พักนี้หลานว่างเหลือเกิน ตั้งแต่สาวมาติด

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ usenokia

ช่วงนี้มีคุณหลานมาให้สอนการบ้านเยอะเลย

โจทย์
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{9}{10}$ จงหาค่าของ $a+b+c$
คุณอาทำ (ไม่รุถูกไหมนะคะ)
$\dfrac{9}{10}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{3}{3}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{3}\Rightarrow a+b+c=20$

แนวนี้จะใช่ไหมคะ หรือว่ามันมีวิธีสูตรสำเร็จ หรือมาตรฐานกว่านี้คะ

อีกข้อเห็นข้อสอบประกายกุหลาบที่คุณแนะนำกันมา

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{7}$ จงหาค่าของ $a+b+c$

$\dfrac{3}{7}=\dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{7}=\dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{7}\cdot \dfrac{4}{4}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{28}+\dfrac{1}{4}\Rightarrow a+b+c=39$

ผิดถูกยังไงชี้แนะด้วยนะคะ ใครมีโจทย์แนวนี้ก็ขอหน่อยนะคะ เดี๋ยวจะไปให้หลานตัวดีทำ รู้สึกว่า พักนี้หลานว่างเหลือเกิน ตั้งแต่สาวมาติด

$ (x,y,z)$ มีได้หลายค่านะครับ

[usenokia]

เราก็ว่ามันต้องมีหลายค่า จะต้องทำแบบไหนเหรอคะ จะต้องตอบเป็นเซตยังไงเหรอคะ ยากจริง ๆ คณิตเนี่ย

[Amankris]

ตามนั้นครับ

ยิ่งไม่บอกขอบเขตที่ชัดเจนด้วย (จำนวนเต็ม จำนวนนับ จำนวนตรรกยะ Blah Blah)

ปล.ข้อสอง โจทย์ให้ x,y,z แต่ถาม a+b+c (-_-)"

[กิตติ]

ผมยังคิดวิธีอื่นนอกจากที่คุณusenokiaทำไม่ได้ ก็แทนค่าไป
ถ้าจำไม่ผิด ถ้าเราแปลงมาเป็น $ab+bc+ac=\frac{9}{10}abc $
แล้วใช้AM-GM น่าจะหาค่าของ$a+b+c$ ได้

[Amankris]

อ่าว แก้โจทย์แล้วก็ไม่บอกกันเลย


วิธีคือ เซ็ตค่าเริ่มต้นก่อนครับ $x\leq y\leq z$ อะไรก็ว่าไป

Bounded ค่าน้อยที่สุด ดูว่าเป็นอะไรได้บ้าง แล้วแยกกรณี

แต่ละกรณี จัดรูปสมการสองตัวแปรให้ดี ก็จะได้กรณีย่อยลงไปอีกครับ

[ยังห่างไกลจากความเป็นเทพ]

เท่าที่ผมเคยอ่านในหนังสือรวมข้อสอบปราบเซียนของญี่ปุ่นที่ สสท เค้าแปลอ่ะครับ

เึค้าบอกว่าเศษส่วนใดๆบนโลกที่มีค่าน้อยกว่าหนึ่ง สามารถเขียนอยู่ในรูป เศษส่วนบวกกันโดยที่มีเศษเป็นหนึ่งและส่วนเป็นจำนวนเต็มได้เสมอได้เสมอ

ส่วนวิธีการลองไปหาอ่านดูในหนังสือเล่มนี้เอาแล้วกันนะครับ ไอเดียประมาณว่าเค้ามองเป็นการแบ่งของอ่ะครับ แต่ผมก็ยังไม่เคยตั้งใจอ่านละเอียดและผมก็จำไม่ได้ว่าข้อไหนเหมือนกัน

ปล. ผมก็มีวิธีคิดอีกแบบครับโจทย์ประเภทนี้ลองทำดูแล้วส่วนใหญี่ที่ทำมา ทำได้ทุกข้อ ตรงตลอด

[poper]

สำหรับใครที่ไม่มีหนังสือ ผมลองสรุปเป็นหลักการเลยละกันนะครับ คิดในกรณีที่เป็นจำนวนเต็มบวกเท่านั้นนะครับ
1 $\frac{3}{7}=\frac{3}{3\times3}....$
เริ่มจากการหาจำนวนที่น้อยที่สุดมาคูณตัวเศษแล้วมีค่ามากกว่าตัวส่วน(ในที่นี้ได้ 3) ตัวแรกจะได้ $\frac{3}{3\times3}$
2 $\frac{3}{7}=\frac{3}{3\times3}+[\frac{3}{3\times3}\times\frac{9-7}{2\times4}]+...$
จากนั้นนำตัวส่วนที่ได้ในขั้นแรก(9)ลบกับตัวส่วนของโจทย์(7)ในที่นี้ได้ 9-7=2 ในขั้นตอนนี้ต้องพิจารณาว่า 2 ที่หาได้ในขั้นตอนที่สองนี้นำ 3 ที่หาได้ในขั้นตอนแรกมาหารได้ลงตัวหรือไม่ ในตัวอย่างนี้จะเห็นว่าไม่ลงตัว ให้นำ 9-7 หารด้วย 2 แล้วหาจำนวนที่น้อยที่สุดที่คูณ 2 แล้วได้มากกว่า 7(ทำซ้ำขั้นตอนเดิม) จะได้ 4
ตอนนี้จะได้ $\frac{9-7}{2\times4}$ ตัวบวกตัวที่สองคือ นำตัวที่ได้จาก 1 คูณกับตัวที่ได้ใน 2
3 $\frac{3}{7}=\frac{3}{3\times3}+[\frac{3}{3\times3}\times\frac{9-7}{2\times4}]+[\frac{3}{3\times3}\times\frac{9-7}{2\times4}\times\frac{8-7}{1\times7}]$
ทำซ้ำขั้นตอนที่สองอีกครั้ง จะเห็นว่า 8-7=1 ซึ่งถ้าคูณ 7 ก็จะได้เท่ากับตัวส่วนของโจทย์พอดี เป็นอันเสร็จสิ้นการทำ
เราก็จะได้ว่า
$\frac{3}{7}=\frac{3}{3\times3}+[\frac{3}{3\times3}\times\frac{9-7}{2\times4}]+[\frac{3}{3\times3}\times\frac{9-7}{2\times4}\times\frac{8-7}{1\times7}]$
$\ \ \ =\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{84}$ เป็นต้น
โดยวิธีนี้เราจะเขียนได้ทุกจำนวนครับ เช่น
$$\frac{3}{5}=\frac{3}{3\times2}+[\frac{3}{3\times2}\times\frac{6-5}{1\times5}]=\frac{1}{2}+\frac{1}{10}$$
$$\frac{7}{45}=\frac{7}{7\times7}+[\frac{7}{7\times7}\times\frac{49-45}{4\times12}]+[\frac{7}{7\times7}\times\frac{49-45}{4\times12}\times\frac{48-45}{3\times15}]=\frac{1}{7}+\frac{1}{84}+\frac{1}{1260}$$ ยังมีต่ออีกหน่อยครับ....

[poper]

อีกตัวอย่างนึงครับ
$\frac{9}{10}=\frac{9}{9\times2}+...$ ขั้นแรกยังเหมือนเดิมครับ
$\frac{9}{10}=\frac{9}{9\times2}+[\frac{9}{9\times2}\times\frac{18-10}{4\times3}]+...$
ขั้นที่สองนี้จะไม่เหมือนแบบแรกครับเนื่องจากว่า ตัวส่วนในขั้นแรกได้ 9x2=18 ซึ่งลบกับ10แล้วได้ 8 จะเห็นว่าสามารถนำ 2 ที่เราหาได้ในขั้นแรกมาหารได้ลงตัว เราจะต้องนำ 2 มาหาร 8 ก่อนจะได้ 4ดังนั้นแทนที่เราจะได้ $\frac{18-10}{8\times2}$ เราจะได้ $\frac{18-10}{4\times3}$ ครับ เมื่อทำต่อไปจะได้ดังนี้
$$\frac{9}{10}=\frac{9}{9\times2}+[\frac{9}{9\times2}\times\frac{18-10}{4\times3}]+[\frac{9}{9\times2}\times\frac{18-10}{4\times3}\times\frac{12-10}{2\times5}]=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{15}$$ ครับ
ลองทำดูสัก 5 ข้อก็จะรู้สึกว่าไม่ยากแล้วล่ะครับ คิดโจทย์ขึ้นมาเองก็ได้ครับ

[ยังห่างไกลจากความเป็นเทพ]

ขอบคุณคุณ proper ครับที่พิมพ์ขนาดนี้เลย