อยากถามหน่อยครับ

[square1zoa]

1.จงแสดงว่า กำหนด $a_n=200620062006...2006$ ($n$ พจน์)จะได้ว่า $$2549\mid a_n$$ สำหรับบาง $n\in Z^+$
2. นาย ก. ต้องการซ้อมแบดเป็นเวลา 25 วันโดยที่ซ้อมอย่างน้อยวันละ 1 เซตเป็นจำนวน 36 เซตจงพิสูจน์ มีช่ววงเวลาที่ติดต่อกันที่นาย ก. ซ้อมแบตได้ 13 พอดี

สำหรับข้อ1. ผมเริ่มคิดจาก $(2006,2549)=1$ และผมสร้างนกเท่ากับ $2550$ ตัวและรังคือเศษที่ได้จากการหารด้วย $2549$ ซึ่งหลักการรังนกพิราบก็ได้แล้วนะครับ
สำหรับนกที่คิดได้เป็นประมาณนี้มั้ง $1,10001,100010001,1000100010001,...,100010001....10001$ (เลข $1$ ในพจน์สุดท้ายเท่ากับ $2550$ ตัว) ไม่รู้ถูกหหรือเปล่า
2. ผมรู้แค่ว่า มีอย่างน้อย $1$ วันที่นาย ก.ซ้อมอย่างน้อย $1$ เซต นอกนั้นก็ไม่รู้อีกแล้วครับ ยังไงก็ช่วยทีนะครับ

[nooonuii]

1. เลือก $n=637$

สังเกตว่า

$a_{n}=2006(1+10^4+\cdots+10^{4n-4})$

$~~~~=\dfrac{2006(10^{4n}-1)}{9999}$

เนื่องจาก $2549$ เป็นจำนวนเฉพาะ

$10^{2548}\equiv 1 \pmod{2549}$

โดย Fermat's little theorem

ดังนั้นเลือกให้ $4n=2548$

[passer-by]

ข้อ 2 ทำอย่างนี้ครับ

ให้ $a_i$ แทนจำนวนเซตสะสมในการซ้อมแบดมินตัน จนถึงวันที่ i
และพิจารณา $a_1,a_2,\cdots a_{25} ,a_1+13 ,a_2+13,\cdots a_{25}+13$ (เสมือน นก)

จะพบว่าจำนวน 50 จำนวนเหล่านี้อยู่ในช่วง 1-49 (เสมือนรัง)

ที่เหลือก็ไม่ยากแล้วครับ