อสมการค่าสัมบูรณ์

[poper]

$|2x-1|+|x-3|\geqslant 2$

ข้อนี้ผมลองสองวิธีคือ วิธีแรกคือการแบ่งช่วงคิด ซึ่งจะได้ว่ามีคำตอบเป็นเซตของจำนวนจริง คือ $x=R$

ส่วนวิธีที่สองผมใช้วิธียกกำลังสอง แต่ได้คำตอบไม่ตรงกับวิธีแรก ซึ่งไม่แน่ใจว่ามันจะใช้วิธีนี้ได้จะต้องมีเงื่อนไขใดเพิ่มเติมหรือไม่ วิธีที่สองผมทำแบบนี้ครับ

$|2x-1|\geqslant 2-|x-3|$

$(2x-1)^2\geqslant 4-4|x-3|+(x^2-6x+9)$

$4|x-3|\geqslant -3x^2-2x+12$

$[4(x-3)]^2\geqslant (-3x^2-2x+12)^2$

$[4(x-3)]^2-(-3x^2-2x+1)^2\geqslant 0$

$(-3x^2+2x)(x^2+2x-8)\geqslant 0$

$x(3x-2)(3x-4)(x+2)\leqslant 0$

$-2\leqslant x\leqslant 0 \ \ \ \,\frac{2}{3}\leqslant x\leqslant \frac{4}{3}$

รบกวนด้วยนะครับ คิดมานานแล้วก็ยังหาเงื่อนไขไม่เจอ หรือมันจะใช้วิธีนี้ไม่ได้

[Suwiwat B]

บรรทัดเเรกต้องมีเงื่อนไข $2-|x+3| \geqslant 0 $ ด้วยนะครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

บรรทัดเเรกต้องมีเงื่อนไข $2-|x+3| \geqslant 0 $ ด้วยนะครับ

เพียงจะบอกว่าไม่จริงครับ ติดลบก็ยังใช้ได้ครับ

แล้วตรง |x+3| ต้องเป็น |x-3| ครับ แต่ก็ไม่ใช่สาระที่ทำให้เงื่อนไขเปลี่ยนจากที่บอกครับ

[poper]

ใช่ครับ ถ้าอสมการอยู่ในรูป $|f(x)|\leqslant g(x)$ จะต้องมีเงื่อนไข
$g(x)\geqslant 0$ ครับ ถึงจะมีคำตอบ

แต่ในรูปแบบ $|f(x)|\geqslant g(x)$ ผมว่ามันไม่ต้องมีเงื่อนไขนะครับ

[หยินหยาง]

ถึงคุณหนุ่มผมยาว อย่างแรกที่ต้องทำความเข้าใจคือเมื่อไรจะใช้วิธีไหน และใช้แต่ละวิธีมีเงื่อนไขอะไรมั้ย

ลองพิจารณาดูว่าเมื่อเราแก้สมการแล้วทำไมถึงต้องนำคำตอบที่ได้มาตรวจสอบด้วย ในกรณีนี้เงื่อนไขของการแก้อสมการมีอะไรบ้าง

ผมยกตัวอย่างเป็นตัวเลขให้ดูเล่นๆก็แล้วกันครับ

$3+7 \geqslant 2$
$3 \geqslant 2-7 =-5$
ยกกำลังสองทั้ง 2ข้าง
$\therefore 9 \geqslant 25 $

ซตพ. (ซวยตั้งแต่พิสูจน์แล้ว)

[lek2554]

$x>-1$

$x^2>1$

$x^2-1>0$

$(x+1)(x-1)>0$

$x<-1$ หรือ $x>1$

บอกอะไรได้ไหมครับ ไอ้หนุ่มผมยาว

[poper]

ขอบคุณท่านหยินหยางครับผม

ที่ผมคิดอยู่ตอนนี้ก็คือว่า เนื่องจากคำตอบเป็นจำนวนจริงทุกจำนวน

ดังนั้นเริ่มแรก $|2x-1|+|x-3|$ มีค่ามากกว่า $2$ ทุกค่า $x$

นั่นหมายความว่า ถ้าผมหาค่าต่ำสุดของ $|2x-1|+|x-3|$ ก่อนจะได้รึเปล่าครับ

แล้ววิธีการหาค่าต่ำสุดผมก็ทำไม่เป็นซะด้วย

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

$x>-1$

$x^2>1$

$x^2-1>0$

$(x+1)(x-1)>0$

$x<-1$ หรือ $x>1$

บอกอะไรได้ไหมครับ ไอ้หนุ่มผมยาว

อืม...ผมก็พอเข้าใจอยู่นะครับ
แต่ก็ไม่รู้ว่าสุดท้ายแล้วจะกำหนดเงื่อนไขอย่างไร เดี๋ยวจะลองคิดดูอีกทีนะครับ
(หรือว่ามันจะใช้ยกกำลังสองไม่ได้กันนะ)

[lek2554]

$a>b\rightarrow a^2>b^2$

ข้อความนีู้ถูกหรือผิดครับ

ถ้าบอกว่าผิดแสดงว่าวิธีที่ทำมาก็ผิดครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ขอบคุณท่านหยินหยางครับผม

ที่ผมคิดอยู่ตอนนี้ก็คือว่า เนื่องจากคำตอบเป็นจำนวนจริงทุกจำนวน

ดังนั้นเริ่มแรก $|2x-1|+|x-3|$ มีค่ามากกว่า $2$ ทุกค่า $x$

นั่นหมายความว่า ถ้าผมหาค่าต่ำสุดของ $|2x-1|+|x-3|$ ก่อนจะได้รึเปล่าครับ

แล้ววิธีการหาค่าต่ำสุดผมก็ทำไม่เป็นซะด้วย

ปัญหาของคุณคือไปรู้ว่าคำตอบคืออะไรแล้วก็พยายามหาทุกวิถีทางเพื่อที่จะไปสู่จุดนั้น ดังนั้นอาจทำให้ยึดติดกับสิ่งที่ไม่ควรทำ เช่นทำไมต้องไปหาจุดต่ำสุดที่ว่า ทั้งๆที่มีวิธีอื่นที่ง่ายกว่าทำได้ บังเอิญในข้อนี้หาจุดต่ำสุดได้ง่ายเลยอาจไม่มีปัญหา ในข้อเท็จจริงเราไม่สามารถรู้คำตอบก่อนได้ดังนั้นการแก้ปัญหาจึงต้องอาศัยพื้นฐานความรู้ของเรื่องนั้นและเทคนิคจากประสบการณ์ที่ทำมา
อย่างแรกถ้ายังอยากทำโดยยกกำลังสองอยู่ ก็ยกเลยไม่ต้องย้ายข้างจะได้ไม่ผิดเงื่อนไข แต่ยกแล้วจะเจออะไร ง่ายต่อการทำต่อหรือไม่ เมื่อเทียบกับการแบ่งช่วง ในทำนองเดียวกันบางครั้งเราใช้การยกกำลังสองง่ายกว่าการแบ่งช่วงเช่นกัน
ลองพิจรณาดู ถ้าลองดูผมตอบกระทู้ในช่วง 1-2 สัปดาห์ที่ผ่านมาผมจะใช้เทคนิคที่ง่ายๆเพื่อให้เห็นอีกแง่มุมหนึ่งว่าโจทย์บางครั้งถ้าเรามองออกหรือมองเป็นโจทย์ข้อนั้นก็จะทำได้โดยง่ าย
ส่วนที่จะหาจุดต่ำสุดหรือสูงสุดของ absolute ที่เป็นเส้นตรงบวกกัน ก็แบ่งช่วงแล้วหาจุดตัดของกราฟนั่นแหละครับ อย่างในที่นี้ก็คือ $x=1/2 $ จะได้ค่าต่ำสุดคือ 2.5

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

$|2x-1|\geqslant 2-|x-3|$

$(2x-1)^2\geqslant 4-4|x-3|+(x^2-6x+9)$

$4|x-3|\geqslant -3x^2-2x+12$

$[4(x-3)]^2\geqslant (-3x^2-2x+12)^2$

ลองดู เผื่อท่านหนุ่มผมยาวจะหายข้อข้องใจ และท่านซือแป๋อาจจะมาชี้แจงเพิ่ม ถ้าผมอธิบายผิดพลาดอะไรไป

จุดที่ 1 $|2x-1|\geqslant 2-|x-3|$

ถ้าจะยกกำลังสอง ควรแบ่งเงื่อนไขเป็น 2 กรณี $2-|x-3|<0$ กับ $2-|x-3|\geqslant 0$

จุดที่ 2 $4|x-3|\geqslant -3x^2-2x+12$

ถ้าจะยกกำลังสอง ควรแบ่งเงื่อนไขเป็น 2 กรณี $-3x^2-2x+12<0$ กับ $-3x^2-2x+12\geqslant 0$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

$|2x-1|+|x-3|\geqslant 2$

ความรู้จากวิชาสถิติครับ

ค่าต่ำสุดของ $|x-a_1|+|x-a_2|+\cdots+|x-a_n|$ เกิดเมื่อ $x=$ ค่ามัธยฐานของ $a_1,a_2,...,a_n$

$|2x-1|+|x-3|=|x-\frac{1}{2}|+|x-\frac{1}{2}|+|x-3|$ มีค่าต่ำสุดเมื่อ $x=\dfrac{1}{2}$

ดังนั้น $|2x-1|+|x-3|\geq 2.5>2$ ทุกค่า $x\in\mathbb{R}$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

$a>b\rightarrow a^2>b^2$

ข้อความนีู้ถูกหรือผิดครับ

ถ้าบอกว่าผิดแสดงว่าวิธีที่ทำมาก็ผิดครับ

ข้อความนี้ผิดใช่มั้ยครับ ลองแทนตัวเลขดู จะไม่จริงเมื่อ $|a|<|b|$

นั่นหมายความว่า ถ้าจะยกกำลังสอง จะต้องมีเงื่อไข $|a|>|b|$ ด้วยใช่มั้ยครับ

แต่ดูเหมือนจะยุ่งไม่ใช่น้อย

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ปัญหาของคุณคือไปรู้ว่าคำตอบคืออะไรแล้วก็พยายามหาทุกวิถีทางเพื่อที่จะไปสู่จุดนั้น ดังนั้นอาจทำให้ยึดติดกับสิ่งที่ไม่ควรทำ เช่นทำไมต้องไปหาจุดต่ำสุดที่ว่า ทั้งๆที่มีวิธีอื่นที่ง่ายกว่าทำได้ บังเอิญในข้อนี้หาจุดต่ำสุดได้ง่ายเลยอาจไม่มีปัญหา ในข้อเท็จจริงเราไม่สามารถรู้คำตอบก่อนได้ดังนั้นการแก้ปัญหาจึงต้องอาศัยพื้นฐานความรู้ของเรื่องนั้นและเทคนิคจากประสบการณ์ที่ทำมา
อย่างแรกถ้ายังอยากทำโดยยกกำลังสองอยู่ ก็ยกเลยไม่ต้องย้ายข้างจะได้ไม่ผิดเงื่อนไข แต่ยกแล้วจะเจออะไร ง่ายต่อการทำต่อหรือไม่ เมื่อเทียบกับการแบ่งช่วง ในทำนองเดียวกันบางครั้งเราใช้การยกกำลังสองง่ายกว่าการแบ่งช่วงเช่นกัน
ลองพิจรณาดู ถ้าลองดูผมตอบกระทู้ในช่วง 1-2 สัปดาห์ที่ผ่านมาผมจะใช้เทคนิคที่ง่ายๆเพื่อให้เห็นอีกแง่มุมหนึ่งว่าโจทย์บางครั้งถ้าเรามองออกหรือมองเป็นโจทย์ข้อนั้นก็จะทำได้โดยง่ าย
ส่วนที่จะหาจุดต่ำสุดหรือสูงสุดของ absolute ที่เป็นเส้นตรงบวกกัน ก็แบ่งช่วงแล้วหาจุดตัดของกราฟนั่นแหละครับ อย่างในที่นี้ก็คือ $x=1/2 $ จะได้ค่าต่ำสุดคือ 2.5

ใช่เลยครับท่านหยินหยาง ผมจะเป็นประเภทที่ว่า ถ้ามันทำได้หลายวิธี ผมจะพยายามทำให้ได้ทุกวิธี แล้วจึงเปรียบเทียบว่าวิธีไหนจะง่ายกว่ากัน

แม้จะรู้ว่ามีอีกวิธีที่ง่ายกว่า ก็อดสงสัยไม่ได้ว่า แล้วทำไมอีกวิธีจึงทำไม่ได้ มีเงื่อนไขอะไรที่ทำไม่ได้หรือเปล่า
เพราะเวลาที่จะต้องทำ เราจะได้สังเกตได้ว่า ข้อนี้ควรจะทำแบบไหนกันแน่


โจทย์แบบไหนที่สามารถยกกำลังสองได้ โจทย์แบบไหนที่ไม่ควรยกกำลังสอง แบบนี้อ่ะครับ เพราะบางข้อมันทำได้ทั้งสองวิธี

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

ลองดู เผื่อท่านหนุ่มผมยาวจะหายข้อข้องใจ และท่านซือแป๋อาจจะมาชี้แจงเพิ่ม ถ้าผมอธิบายผิดพลาดอะไรไป

จุดที่ 1 $|2x-1|\geqslant 2-|x-3|$

ถ้าจะยกกำลังสอง ควรแบ่งเงื่อนไขเป็น 2 กรณี $2-|x-3|<0$ กับ $2-|x-3|\geqslant 0$

จุดที่ 2 $4|x-3|\geqslant -3x^2-2x+12$

ถ้าจะยกกำลังสอง ควรแบ่งเงื่อนไขเป็น 2 กรณี $-3x^2-2x+12<0$ กับ $-3x^2-2x+12\geqslant 0$

ผมลองทำตามที่ท่านเล็กแนะนำแล้วแต่ก็ไม่ได้อยู่ดีครับ

รบกวนช่วยแสดงวิธีเต็มหน่อยได้มั้ยครับ