|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ตรีโกณมิติ ผลคูณของไซน์
เอาโจทย์สวยๆมาฝากครับ
|
#2
|
||||
|
||||
เนื่องจาก $\sin \frac{\pi}{2m} \cdot \sin \frac{2\pi}{2m} ... \sin \frac{(m-1)\pi}{2m} = \frac{\sqrt{m}}{2^{m-1}}$
ดังนั้นเมื่อแทน $m =45$ จะได้ $L.H.S. = \frac{3\sqrt{5}}{2^{44}} \Rightarrow p = 2^6\times 3$ |
#3
|
|||
|
|||
คำตอบถูกนะครับ แต่ช่วยอธิบายตรงเอกลักษณ์หน่อยได้มั้ยครับ
|
#4
|
||||
|
||||
ไม่รู้ถูกหรือเปล่าเเต่ผมขอเริ่มจาก ให้ $a = cos\frac{2\pi}{n} + isin\frac{2\pi}{n}$
พิจารณารากของสมการ $x^n - 1 = 0$ $(x-1)(x^{n-1} + x^{n-2}+...+x+1) = 0$ จะได้ว่า $1,a,a^2,...,a^{n-1}$ เป็นรากของสมการนี้ ทำให้ได้ว่า $x^{n-1} + x^{n-2}+...+x+1 = (x-a)(x-a^2)...(x-a^{n-1})$ เเทน $x=1$ ทำให้ได้ว่า $n = (1-a)(1-a^2)...(1-a^{n-1})$ $|1-a||1-a^2|...|1-a^{n-1}| = n$ พิจารณา $|1-a^x| = 2sin\frac{x\pi}{n}$ จะได้ว่า $sin\frac{\pi}{n}sin\frac{2\pi}{n}sin\frac{3\pi}{n} ...sin\frac{(n-1)\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}$ เเทนค่า $n$ ด้วย $2m$ $sin\frac{\pi}{2m}sin\frac{2\pi}{2m}sin\frac{3\pi}{2m} ...sin\frac{(2m-3)\pi}{2m}sin\frac{(2m-2)\pi}{2m}sin\frac{(2m-1)\pi}{2m} = \frac{2m}{2^{2m-1}}$ จับคู่หน้าหลังให้ครบ จะเหลือ $sin\frac{(2m-m)\pi}{2m} = 1$ อันเดียวที่ไร้คู่ จะได้ $sin\frac{\pi}{2m}sin\frac{2\pi}{2m}sin\frac{3\pi}{2m} ...sin\frac{(m-1)\pi}{2m} = \frac{\sqrt{m}}{2^{m-1}}$
__________________
ต้องสู้ถึงจะชนะ CCC Mathematic Fighting เครียด เลย |
#5
|
||||
|
||||
ที่ผมใช้นะครับ ลองศึกษาจากตัวอย่างนี้
พิจารณาสมการ $6\theta = n\pi$ จะได้ว่า $\sin \theta = 0, 1, \pm \sin\frac{\pi}{6}, \pm \sin\frac{\pi}{3}$ แต่เนื่องจาก $\sin 6\theta = \binom{6}{1}\cos^5\theta \sin \theta - \binom{6}{3}\cos^3 \theta \sin^3 \theta + \binom{6}{5}\cos \theta \sin^5 \theta$ $= \sin \theta \cos \theta [\binom{6}{1}\cos^4 \theta - \binom{6}{3}\cos^2 \theta \sin^2 \theta + \binom{6}{5}\sin^4 \theta]$ $= \sin \theta \cos \theta [\binom{6}{1}(1-x^2)^2 - \binom{6}{3}(1-x^2)x^2 + \binom{6}{5}x^4]$ (เมื่อให้ $\sin \theta = x$) แต่จาก $6\theta = n\pi$ จะได้ว่า $\sin 6\theta = \sin n\pi = 0$ ถ้าตัดกรณีที่ $\sin \theta = 0, 1$ ทิ้ง แสดงว่าสมการพหุนามกำลังสี่ $\binom{6}{1}(1-x^2)^2 - \binom{6}{3}(1-x^2)x^2 + \binom{6}{5}x^4 = 0 ... (*)$ จะมีรากของสมการเป็น $\sin^2 \frac{\pi}{6}$ กับ $\sin^2 \frac{\pi}{3}$ และจะเห็นว่า สัมประสิทธิ์ของ $x^4$ คือ $\binom{6}{1} + \binom{6}{3} + \binom{6}{5} = 2^{6-1} = 2^5$ และจะเห็นว่า สัมประสิทธิ์ของ $x^0$ คือ $\binom{6}{1}$ โดยความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์ จะได้ว่าผลคูณของรากของสมการ (*) เท่ากับ $\sin^2 \frac{\pi}{6}\cdot \sin^2 \frac{\pi}{3} = \frac{6}{2^5} \Rightarrow \sin \frac{\pi}{6}\cdot \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{6}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 04 พฤษภาคม 2013 22:17 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon |
#6
|
|||
|
|||
ขอบคุณทุกท่านมากเลยครับ เก่งกันมากเลยครับ
|
#7
|
||||
|
||||
ถ้าเข้าใจแล้วก็ลองพิสูจน์เอกลักษณ์นี้ดูครับ
$\sin \frac{2\pi}{2m+1} \cdot \sin \frac{4\pi}{2m+1} \cdot \sin \frac{6\pi}{2m+1} ...\sin \frac{2m\pi}{2m+1}=\frac{\sqrt{2m+1}}{2^m}$ |
|
|