แก้สมการกำลังสี่

[Fakez-]

ช่วยบอกวิธีแก้สมการกำลังสี่อย่างละเอียดให้หน่อยได้มั๊ยครับ หรือส่งลิ้งมาก็ได้

เผอิญพรุ่งนี้จะสอบเลยหาข้อมูลเองไม่ทันน่ะครับ

[เริ่มฝึกหัด]

ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสาม คือสมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 3 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสามคือ

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \!

เมื่อ a ≠ 0 (ถ้า a = 0 สมการนี้จะกลายเป็นสมการกำลังสอง) โดยปกติแล้ว a,b,c,d คือสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนจริง ฟังก์ชันของสมการกำลังสามสามารถวาดกราฟบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รูปเส้นโค้งคล้ายตัว S หรือ N

สมการกำลังสามทุกสมการที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง จะมีรากของสมการ 3 คำตอบเสมอ ซึ่งจะต้องมีจำนวนจริงอย่างน้อยหนึ่งจำนวนที่เป็นคำตอบ ตามทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง (intermediate value theorem) และคำตอบเหล่านั้นอาจจะเท่ากันบางค่าก็ได้ ส่วนอีกสองจำนวนที่เหลือสามารถแยกแยะได้จากการพิจารณาดิสคริมิแนนต์ ซึ่งคำนวณจาก

\Delta = 4b^3d - b^2c^2 + 4ac^3 - 18abcd + 27a^2d^2 \!

คำตอบของสมการจะเป็นประเภทใดประเภทหนึ่ง ดังต่อไปนี้

* ถ้า Δ < 0 คำตอบของสมการจะเป็นจำนวนจริงทั้งสามค่า ที่แตกต่างกันทั้งหมด
* ถ้า Δ > 0 คำตอบของสมการจะมีหนึ่งค่าที่เป็นจำนวนจริง และอีกสองจำนวนเป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุคซึ่งกันและกัน
* ถ้า Δ = 0 คำตอบของสมการจะเป็นจำนวนจริงทั้งสามค่า ซึ่งมีสองจำนวนเป็นค่าเดียวกัน หรือ เป็นค่าเดียวกันทั้งสามจำนวน อย่างใดอย่างหนึ่ง

สูตรกำลังสาม

ถ้าหาก x1,x2,x3 เป็นคำตอบของสมการกำลังสามแล้ว เราจะสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามกำลังสามได้ดังนี้

ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0 \!

กำหนดให้

\begin{align} q &= \frac{9abc - 27a^2d - 2b^3}{54a^3} \\ r &= \sqrt{\left (\frac{3ac-b^2}{9a^2}\right )^3 + q^2} \\ s &= \sqrt[3]{q + r} \\ t &= \sqrt[3]{q - r} \\ \end{align}

คำตอบของสมการทั้งสามค่าสามารถคำนวณได้จากสูตร

\begin{align} x_1 &= s+t-\frac{b}{3a} \\ x_2 &= -\frac{1}{2}(s+t)-\frac{b}{3a}+\frac{\sqrt{3}}{2}(s-t)i \\ x_3 &= -\frac{1}{2}(s+t)-\frac{b}{3a}-\frac{\sqrt{3}}{2}(s-t)i \\ \end{align}

เมื่อ i คือหน่วยจินตภาพที่นิยามโดย i2 = −1

[แม่ให้บุญมา]

ได้ขั้นตอนแสดงวิธีการหาจาก
http://easycalculation.com/algebra/l...c-equation.php
ซึ่งมีการแปลงรูปสมการกำลังสี่ของ x เป็นสมการกำลังสามของ y ก่อน ซึ่งหาได้จากที่คุณเริ่มฝึกหัด แสดงเอาไว้
พอได้ค่า y สามค่าจากสมการ จึงนำมาแทนค่าได้ p,q,r และs ในสูตรคำนวณหาค่า x ที่เป็นคำตอบของสมการกำลังสี่ตามต้องการ โดยมีตัวอย่างสมการให้ด้วย ดังนี้

Quartic Equation Definition:
A general quartic equation (also called a biquadratic equation) is a fourth-order polynomial equation of the form,
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0.

Quartic Equation Formula:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
where,
a = coefficient of x4
b = coefficient of x3
c = coefficient of x2 and
d = coefficient of x.
e = constant.

Quartic Equation solving formula:
x1 = p + q + r - s
x2 = p - q - r - s
x3 = -p + q - r - s
x4 = -p - q + r - s


Example 1: Calculate the roots(x1, x2, x3, x4) of the quartic equation,
3X4 + 6X3 - 123X2 - 126X + 1080 = 0

Step 1: From the above equation, the value of a=3, b=6, c=-123, d=-126, e=1080.

Step 2: To find x :
Substitute the values in the formulas below.
f = c - ( 3b² / 8 )
g = d + ( b³ / 8 ) - ( b x c / 2 )
h = e - ( 3 x b4 / 256 ) + ( b² x c / 16 ) - ( b x d / 4 )

Step 3: Form as Cubic Equation :
y³ + ( f / 2 ) y² + (( f ² - 4 x h ) / 16 ) y - g² / 64 = 0
where,
a = coefficient of y³
b = coefficient of y²
c = coefficient of y
d = constant

Step 4: From the above equation, the value of a = 1, b = f/2, c = (( f ² - 4 x h ) / 16 ), and
d = - g² / 64.

Step 5: To Find y:
Substitute the values in the formula's below to find the roots. The variable disc is nothing but the discriminant, denoted generally as delta(Δ)
discriminant(Δ) = q3 + r2
q = (3c - b2) / 9
r = -27d + b(9c - 2b2)
s = r + math.sqrt(discriminant)
t = r - math.sqrt(discriminant)
term1 = math.sqrt(3.0) * ((-t + s) / 2)
r13 = 2 * math.sqrt(q)
y1=(- term1 + r13*math.cos(q3/3) )
y2=(- term1 + r13*math.cos(q3+(2*math.PI)/3) )
y3=(- term1 + r13*math.cos(q3+(4*math.PI)/3) )

Step 6: We get the roots,
y1 = 20.25 , y2 = 0 and y3 = 1.

Step 7: After finding cubic equation solve quartic equation
Substitue y1, y2, y3 in p, q, r, s.
NOTE : Let p and q be the square root of any 2 non-zero roots.
p = sqrt(y1) = 4.5
q = sqrt(y3) = 1
r = -g / (8pq) = 0
s = b / (4a) = 0.5

Step 8: We get the roots, x1 = 5, x2 = 3, x3 = -4 and x4 = -6. This is an example to calculate quartic equation.

[kongp]

ความแม่นยำละครับแค่ไหน