Creating Function

[Spotanus]

Let $x,y,z$ are posive real numbers such that $x+y+z+x^{2}+y^{2}+z^{2}=6$. Prove that
$$4 > x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq 3$$
(Hint : Strictly Convex function.)

[Spotanus]

Let $x,y,z$ be positive real numbers such that $x+y+z+xy+yz+zx=6$. Prove that
$$36 > x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq 3$$

[Spotanus]

Let $n$ be a natural number and $x_{i} \left(i=1,2,...,n\right)$ be positive real numbers such that
$$\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} =n$$.
Prove that
$$n \geq \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \geq \sqrt{n}$$.
And find all possible cases which make right equality holds.

[Spotanus]

Let $x_{1},x_{2},...,x_{5}$ be non-negative real numbers such that
$$\sum_{n = 1}^{5} 2^{x_{i}}+x_{i} =15 $$.
Prove that
$$5 \geq \sum_{n = 1}^{5} x_{i} \geq 3$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

Let $n$ be a natural number and $x_{i} \left(i=1,2,...,n\right)$ be positive real numbers such that
$$\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} =n$$.
Prove that
$$n \geq \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \geq \sqrt{n}$$.
And find all possible cases which make right equality holds.

โดยอสมการโคชี

$x_1+x_2+\cdots+x_n\leq\sqrt{n(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)}=n$

จากเงื่อนไขโจทย์จะได้

$(x_1+\cdots+x_n)^2=(x_1^2+\cdots+x_n^2)+2\sum_{i<j}x_ix_j>n$

สมการเกิดขึ้นไม่ได้ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

Let $x,y,z$ are posive real numbers such that $x+y+z+x^{2}+y^{2}+z^{2}=6$. Prove that
$$4 > x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq 3$$
(Hint : Strictly Convex function.)

อสมการสมมูลกับ

$2<x+y+z\leq 3$

จากเงื่อนไขโจทย์

$6=x+y+z+x^2+y^2+z^2\geq \dfrac{1}{3}(x+y+z)^2+x+y+z$

จัดรูปใหม่ได้

$(x+y+z-3)(x+y+z+6)\leq 0$

ดังนั้น

$x+y+z\leq 3$

ต่อไปสมมติว่า $x+y+z\leq 2$

จะได้ $x^2+y^2+z^2 < (x+y+z)^2 \leq 4$

ดังนั้น $x+y+z+x^2+y^2+z^2 < 6$ ซึ่งขัดแย้ง

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

Let $x,y,z$ be positive real numbers such that $x+y+z+xy+yz+zx=6$. Prove that
$$36 > x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq 3$$

$6=x+y+z+xy+yz+zx$

$\leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}+x^2+y^2+z^2$ (อสมการโคชี)

$(\sqrt{x^2+y^2+z^2}+2\sqrt{3})(\sqrt{x^2+y^2+z^2}-\sqrt{3})\geq 0$

ดังนั้น $x^2+y^2+z^2\geq 3$

จากเงื่อนไขโจทย์

$x+y+z < x+y+z+xy+yz+zx = 6$

$(x+y+z)^2<36$

ดังนั้น $x^2+y^2+z^2<(x+y+z)^2<36$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

Let $x_{1},x_{2},...,x_{5}$ be non-negative real numbers such that
$$\sum_{n = 1}^{5} 2^{x_{i}}+x_{i} =15 $$.
Prove that
$$5 \geq \sum_{n = 1}^{5} x_{i} \geq 3$$

สมมติว่า $\sum x_i> 5$

โดยอสมการ AM-GM

$\sum 2^{x_i}\geq 5\cdot 2^{\frac{\sum x_i}{5}}>10$

ดังนั้น $\sum (2^{x_i}+x_i)>10+5 = 15$ ซึ่งขัดแย้ง

สมมติว่า $\sum x_i<3$

ให้ $y_i=\dfrac{x_i}{3}$ จะได้ $\sum y_i < 1$

โดย Weighted AM-GM inequality จะได้

$2^{y_i}=2^{y_i}\cdot 1^{1-y_i}\leq 2y_i+(1-y_i)=1+y_i$

ดังนั้น

$2^{3y_i}\leq (1+y_i)^3$

$~~~~~=1+3y_i+3y_i^2+y_i^3$

$~~~~~<1+3y_i+3y_i+y_i$

$~~~~~=1+7y_i$

เราจึงได้ว่า

$\sum 2^{x_i}=\sum 2^{3y_i}$

$~~~~~~~~<\sum (1+7y_i)$

$~~~~~~~~<12$

เพราะฉะนั้น

$\sum (2^{x_i}+x_i)<12 + 3=15$ ซื่งขัดแย้ง

[dektep]

โห พี่ nooonuii กวาดหมดทุกข้อเลยเหรอครับ
สุดยอดครับ