รบกวนช่วยพิสูจน์ข้อสงสัยเหล่านี้ให้ทีครับ

[tongkub]

ตอนนี้ผมก็ว่าจะเรียกว่าเอกลักษณ์นะครับ แต่มองไปมาเหมือนสูตรลัดมากกว่า

1. $asinx + bcosx$ จะมีค่ามากที่สุด คือ $\sqrt{a^2 + b^2}$
2.$asinx + bcosx$ จะมีค่ามากที่สุดคือ $x = arctan(\frac{b}{a})$

[กิตติ]

คุ้นๆว่าจะเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน
ลองเข้าไปอ่านในนี้ก่อนไหมครับ....เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ชุดที่ ๑๙....รู้สึกว่าจะไม่มีการพิสูจน์

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tongkub

ตอนนี้ผมก็ว่าจะเรียกว่าเอกลักษณ์นะครับ แต่มองไปมาเหมือนสูตรลัดมากกว่า

1. $asinx + bcosx$ จะมีค่ามากที่สุด คือ $\sqrt{a^2 + b^2}$
2.$asinx + bcosx$ จะมีค่ามากที่สุดคือ $x = arctan(\frac{b}{a})$

ข้อ 1. ถูก แต่ข้อ 2. ผิดนะครับ

$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}(a/\sqrt{a^2+b^2}\sin x+b/\sqrt{a^2+b^2}\cos x)$

สมมติให้ $\cos A = a/\sqrt{a^2+b^2}$ ดังนั้น

โจทย์ = $\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+A)$

ซึ่งจะมีค่าสูงสุดเมื่อ $\sin(x+A) = 1$

และเมื่อ $\sin(x+A) = 1$ แล้วจะได้

$x+A = n\pi + \pi/2 \Rightarrow x = n\pi + \pi/2 - A = n\pi + \pi/2 - \arctan(b/a)$

กรณีพิเศษถ้าจะหาค่า x มาดูสัก 1 ค่า เลือก n = 0

จะได้ $x = \pi/2 - \arctan(b/a) = arctan(a/b)$

แต่ถ้าสมมติให้ $\sin A = a/\sqrt{a^2+b^2}$

จะได้ $a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\cos(x-A)$

ซึ่งจะมีค่าสูงสุดเมื่อ $\cos(x-A) = 1 \Rightarrow x - A = 2n\pi \Rightarrow x = 2n\pi + A = 2n\pi + \arctan(a/b)$

ในทำนองเ้ดียวกัน ถ้าเลือก n = 0 จะได้ $x = \arctan(a/b)$ เป็นค่าหนึ่งที่ทำให้ $a\sin x + b\cos x$ มีค่าสูงสุด