Geometric Inequality

[Char Aznable]

ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมใดๆ m_a,m_b,m_c เป็นเส้นมัธยฐานที่ลากจากจุด A,B,C ตามลำดับ ถ้า s เป็นครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปจงพิสูจน์ว่า
\[\frac{1}{m_{a}}+\frac{1}{m_{b}}+\frac{1}{m_{c}} > \frac{9}{s} \]

[gon]

เมื่อครู่ลองคิดดูได้แค่มากกว่า \(\frac{3}{s} \,\) เองครับ.

[tunococ]

คิดได้แค่ \(\frac{9}{2s}\) เองอ่า

[kanakon]

ให้ $s_1,s_2,s_3 $ เป็นด้านทั้ง 3 ของรูปสามเหลี่ยม และ $m_a,m_b,m_c$ เป็นมัธยฐานของด้านทั้ง 3
$\because $ $s_1 + s_2 + s_3 $ $>$ $m_a + m_b + m_c$
$\therefore $ $2s$ $>$ $m_a + m_b + m_c$
$\frac{{2s}}{3}$ $>$ $\frac{m_{a} + m_{b} + m_{c}}{3} $
จาก AM.HM. จะได้ $\frac{2s}{3}$ $>$ $\frac{3}{\frac{1}{m_a } + \frac{1}{m_b } + \frac{1}{m_c } } $
$\therefore $ ${\frac{1}{m_{a}} + \frac{1}{m_{b}} + \frac{1}{m_{c} } } $ $>$ $\frac{9}{{2s}}$

ผิดจุดไหนรบกวนชี้แนะด้วยครับ

[gools]

ฝั่งขวาของโจทย์เป็น $\frac{9}{s}$ นะครับ ไม่ใช่ $\frac{9}{2s}$

[kanakon]

ขอบคุณคุณ gools มากครับ

รบกวนพี่ๆ ตรวจสอบให้หน่อยครับผิดที่ไหน

[gools]

รู้สึกว่าอสมการไม่เป็นจริงเสมอไปนะครับ
ให้ $a,b,c$ เป็นด้านของสามเหลี่ยม
จาก $m_a^2=\frac{1}{4}(2b^2+2c^2-a^2)$
ดังนั้น $\sum \frac{1}{m_a}=\sum \frac{2}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}=2\sum \frac{1}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}$
อสมการจะจัดรูปใหม่ได้เป็น
\[\sum \frac{1}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}} > \frac{9}{a+b+c}\]
ให้ $a=b,c \rightarrow 0$ จะได้ $\frac{5}{2a} > \frac{3}{a}$ ซึ่งไม่เป็นจริงครับ