โจทย์เกี่ยวกับการสร้าง

[JKung]

จงสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 5 หน่วย และมีอัตราส่วนระหว่างด้านประกอบมุมฉากเป็น 3:5

รบกวนผู้รู้ช่วยตอบด้วยค่ะ

[BLACK-Dragon]

ให้ด้านประกอบมุมฉากยาว $3x,5x$
ดังนั้น
$(3x)^2+(5x)^2=5^2$
$9x^2+25x^2=25$
$34x^2=25$
$x=\frac{5\sqrt{34}}{34}$

ด้านสามเหลี่ยมมุมฉาก $\frac{15\sqrt{34}}{34},\frac{25\sqrt{34}}{34},5$

[Amankris]

สร้างสามเหลี่ยม ABC มี A เป็นมุมฉาก และ AB=5 , AC=3

ลากส่วนสูง AD

จะได้สามเหลี่ยม ADB เป็นสามเหลี่ยมตามต้องการ

พิสูจน์โดยสามเหลี่ยมคล้าย

[nongtum]

สามเหลี่ยมที่ต้องการ มีด้านประกอบมุมฉากยาว $15/\sqrt{34}$ หน่วย และ $25/\sqrt{34}$ หน่วยตามลำดับ

สร้างด้้้้้้้้้้้้้้้้้้านที่มีความยาว $\sqrt{34}$ หน่วยจากสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 5 หน่วยและั 3 หน่วย
สร้างด้านที่มีความยาว $25/\sqrt{34}$ หน่วยโดยให้ ด้าน $AB=5$ หน่วย $BC=15/\sqrt{34}$ หน่วย เป็นด้านประกอบมุมฉาก
สร้าง $AD\perp AC$ ที่ทำให้สามเหลี่ยม DAC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก และจุด D,B,C อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จุด B อยู่ระหว่างจุด A และจุด C
ความยาว DB จะเท่ากับ $25/\sqrt{34}$ หน่วย ซึ่งสามารถใช้สร้างความยาว $15/\sqrt{34}$ หน่วยได้ (ตรงนี้อาจทำได้มากกว่าหนึ่งวิธี)
ที่เหลือก็สร้างสามเหลี่มมุมฉากจากด้านที่ได้ เป็นอันเสร็จกระบวนการครับ

ปล. ผมทำอ้อมโลกกว่าวิธีของคุณ Amankris อีกแฮะ

[JKung]

ลืมบอกว่าเป็นการสร้างโดยใช้วงเวียนและสันตรงค่ะ 555+

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JKung

ลืมบอกว่าเป็นการสร้างโดยใช้วงเวียนและสันตรงค่ะ 555+

ถ้ามีแค่วงเวียนและสันตรงคงทำให้ ด้านยาว 5 หน่วย ไม่ได้นะครับ

ยกเว้นจะกำหนดความยาวมาให้

[nongtum]

#5

การสร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก และเส้น AD ใน #3 (หรือจะอ้อมโลกแบบผมตาม #4) สามารถทำได้โดยใช้วงเวียนและสันตรงครับ
ถ้าเอาตาม #3 ก็สร้างเส้นตรงสองเส้นที่ตั้งฉากกันก่อน แล้ววัดความยาว 3 หน่วยและ 5 หน่วยด้วยวงเวียน วัดใน"แกน"ที่เหมาะสมก่อนเชื่อมแกน
ก่อนสร้างเส้นตั้งฉา่กจากจุด A ไปยังด้าน BC ครับ (ขอละรายละเอียดปลีกย่อยนะครับ)

เสริมจาก #6: ทั้งนี้ทั้งนั้นต้องยอมให้มีการวัดความยาวด้านได้อย่างน้อยหนึ่งด้านนะครับ ถึงจะสร้างได้

[JKung]

ถ้าจำโจทย์มาไม่ผิดน่าจะให้วัดความยาวด้านที่ยาว 5 หน่วยนะคะ

ขอบคุณคุณ nongtum,Amankris และคุณ BLACK-Dragon มากๆค่ะ

[หยินหยาง]

โจทย์ที่เคยเจอเป็น $3:\sqrt{3}$ แต่ก็อย่างว่ามันก็คงง่ายไป

[Puriwatt]

ลองสร้างรูปด้วยไม้บรรทัดและวงกลมดู ถ้ายังสงสัยและผมมีเวลาจะวาดรูปมาให้ดูครับ
1. ลากส่วนของเส้นตรง AB ให้มีขนาดยาวเกิน 5 หน่วย(ซม.) -- ยาวประมาณ 7 ถึง 8 ซม.
2. ใช้จุด A เป็น จศก. ลากเส้นโค้งครึ่งวงกลมรัศมี 5 หน่วย(ซม.) ตัด AB ที่จุด C -- AB อยู่กลางส่วนโค้ง
3. ใช้วงเวียนสร้างเส้นตั้งฉากDD' ที่จุด C (แบบย่อๆ) -- โดยที่ DC = CD' = 3 หน่วย(ซม.)
4. ลากเส้นตรง AD และ AD' ตัดส่วนโค้งในข้อ.2 ที่จุด EE' -- จะได้ว่า AE = AE' = 5 หน่วย(ซม.)
5. ลากเส้นตรงจากจุด E ไปยังจุด E' โดยตัดเส้นตรง AB ที่จุด F -- จะได้สามเหลี่ยม AFE หรือ AFE' ตามต้องการ

a) สามเหลี่ยม AFE คล้ายกับ สามเหลี่ยม ACD (ที่มีด้านประกอบมุมฉากเป็น 5 และ 3 ซม)
b) ด้าน AE (ที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก) มีความยาวเป็น 5 หน่วย(ซม.)

[yellow]

1. ลากเส้นตรงความยาวพอสมควร (ซัก 8 ซม)

2. สร้างมุมฉาก ด้วยวิธีแบ่งครึ่งเส้นตรง ที่จุดตัดให้เป็นจุด O

3. ใช้ O เป็นจุดศูนย์กลาง กางวงเวียนรัศมี 3 ซม เขียนส่วนโค้งตัดแกน X ที่จุด X และ X' (ตัดทั้งด้านซ้าย ด้านขวา)

หมายเหตุ: ถ้าไม่ให้ใช้ไม้บรรทัด ก็กางวงเวียนรัศมีพอสมควรแล้วเขียนส่วนโค้งตัดเส้นตรงด้านละ 3 ครั้งแทน

4. ใช้ O เป็นจุดศูนย์กลาง กางวงเวียนรัศมี 5 ซม เขียนส่วนโค้งตัดแกน Y ที่จุด A

หมายเหตุ: ถ้าไม่ให้ใช้ไม้บรรทัด ก็กางวงเวียนรัศมีเท่ากับข้อ 3 แล้วเขียนส่วนโค้งตัดเส้นตรง 5 ครั้งแทน

5. ลากเส้น AX และ AX'

6. ใช้ A เป็นจุดศูนย์กลาง กางวงเวียนรัศมี 5 ซม เขียนส่วนโค้งตัดเส้นตรง AX และ AX' ที่จุด B และ B' ตามลำดับ

หมายเหตุ: ถ้าไม่ให้ใช้ไม้บรรทัด ก็กางวงเวียนรัศมีเท่ากับเส้นตรง 5 หน่วยที่โจทย์กำหนดให้

7. ลากเส้น B B' ซึ่งจะตัดแกน Y ที่จุด C

8. จะได้สามเหลี่ยม ABC ที่มีด้านตรงข้ามมุมฉาก 5 ซม และอัตราส่วนด้านประกอบมุมฉากเป็น 3:5