เร่มพิสูจน์ยังไงดีครับ

[suan123]

let an be a convergent sequence of real number. Show that for every e>0 there exists a natural number N such that absolute value of an - am < e for all m,nณ N

[suan123]

ยังงงกับวิธีเขียนบทพิสูจน์อยู่นะครับ ช่วยชี้แนะด้วยครับ

[M@gpie]

การเขียนพิสูจน์มีหลายวิธีนะครับ อันนี้ต้องลองศึกษาดูเรื่องวิธีพิสูจน์
ส่วนในข้อนี้เป็นเกณฑ์การลู่เข้าของโคชี นะครับ การพิสูจน์ก็ต้องเริ่มจาก

สิ่งที่เรารู้อยู่ คือ $a_n$ เป็นลำดับลู่เข้า สิ่งที่ต้องการพิสูจน์คือ $| a_n -a_m | < \epsilon$
เราต้องหาเหตุผลสนับสนุนจากสิ่งที่เรารุ้ไปยังยังสิ่งที่ต้องการพิสูจน์ครับ

การพิสูจน์ (แบบละเอียด) :
สมมติว่า $a_n$ เป็นลำดับลู่เข้าสู่ $a$

จากนิยามจะได้ว่า $\forall \epsilon_1 >0 \; \exists N_1 \in \mathbb{N} \; \forall n \geq N_1 \; [\; |a_n - a | < \epsilon /2 \; ] $

ในทำนองเดียวกันก็จะได้ว่า $\forall \epsilon_2 >0 \; \exists N_2 \in \mathbb{N} \; \forall n \geq N_2 \; [\; |a_m - a | < \epsilon /2 \; ] $

และให้ $N=\max \{ N_1, N_2 \}$ (ในที่นี้เพื่อให้ทั้งสองเงื่อนไขข้างบนเป็นจริงพร้อมกันครับ)
ซึ่งการพิสูจน์อาจจะละไว้ว่าจะมีจำนวนนับ $N$ ที่ $ m,n \geq N $ เลยครับ ก็ไม่ถือว่าผิดแต่อย่างใด

ก็จะได้ว่า $\forall \epsilon >0 \; \exists N \in \mathbb{N} \; \forall n\geq N $ ที่ทำให้
\[ |a_n -a_m| \leq |a_n -a| + |a_m - a| < \epsilon /2 + \epsilon /2 = \epsilon \]
ตามที่ต้องการ

ซึ่งผมก็ทำความเข้าใจกับเรื่องนี้อยู่นานพอสมควรทีเดียว เพราะผมก็ไม่ได้เรียน math โดยตรง
คุณ suan123 กำลังอ่าน Analysis อยู่รึเปล่าครับ แนะนำว่าให้ลองหาเล่มที่อธิบายด้วยนิยามเริ่มต้นก่อน ดูตัวอย่างจากหลายๆเล่ม เพราะการพิสูจน์มีหลายระดับ หนังสือบางเล่มก็นิยมที่จะพิสูจน์ทฤษฎีนี้แบบลัดๆ ดังนี้

ให้ $a_n \rightarrow a$ จะได้ว่า $a_m \rightarrow a$ ด้วย ซึ่งจะได้ว่า
\[ |a_m-a|\rightarrow 0, \; \; \; |a_n - a| \rightarrow 0 \]
ดังนั้น
\[ | a_n-a_m | \leq |a_n -a| + |a_m-a| \rightarrow 0 \]

พอเราเริ่มเข้าใจหลักการดีขึ้นแล้วก็ค่อยดูวิธีพิสูจน์ที่สั้นขึ้น จะเข้าใจง่ายขึ้นครับ ก็ถ้ายังมีคำถามอีกก็ยึดกระทู้นี้เป็นที่ตั้งคำถามให้ พี่ๆในบอร์ด Comment ไปเลยก็ได้ครับ (เหมือนที่ผมเคยทำ) จะได้ไม่กระจัดกระจายจนเกินไป

ป.ล. : อันนี้ผมอธิบายตามที่ผมเข้าใจ ผิดถูกยังไงก็รบกวนพี่ๆ แก้ไขและแนะนำด้วยนะครับ

[suan123]

ขอบคุณมากครับ กำลังเรียน real analysis อยู่จริงครับแต่ผมเรียนเศรษศาสตร์ก็เลยเรียนแต่พื้นฐานนะครับ บทพิสูจน์หรือภาษาคณิตศาสตร์เข้าใจยากมากมาย ช่วยชี้แนะด้วยครับ

[M@gpie]

ยินดีครับ ถือว่าเป็นการฝึกฝนผมไปด้วยในตัว ปกติผมก็ขอให้พี่ๆ ในบอร์ดช่วย คอมเม้น เรื่อง proof อยู่แล้วเป็นประจำ
ว่าแต่ว่า เรียนอยู่ที่ไหนเหรอครับ ทำไม เศรษฐศาสตร์มีเรียน Real analysis ด้วย เป็น งง

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:


จากนิยามจะได้ว่า $\forall \epsilon_1 >0 \; \exists N_1 \in \mathbb{N} \; \forall n \geq N_1 \; [\; |a_n - a | < \epsilon /2 \; ] $

ในทำนองเดียวกันก็จะได้ว่า $\forall \epsilon_2 >0 \; \exists N_2 \in \mathbb{N} \; \forall n \geq N_2 \; [\; |a_m - a | < \epsilon /2 \; ] $

และให้ $N=\max \{ N_1, N_2 \}$ (ในที่นี้เพื่อให้ทั้งสองเงื่อนไขข้างบนเป็นจริงพร้อมกันครับ)
ซึ่งการพิสูจน์อาจจะละไว้ว่าจะมีจำนวนนับ $N$ ที่ $ m,n \geq N $ เลยครับ ก็ไม่ถือว่าผิดแต่อย่างใด

ก็จะได้ว่า $\forall \epsilon >0 \; \exists N \in \mathbb{N} \; \forall n\geq N $ ที่ทำให้
\[ |a_n -a_m| \leq |a_n -a| + |a_m - a| < \epsilon /2 + \epsilon /2 = \epsilon \]
ตามที่ต้องการ

ทำไมต้องเลือก $N_1,N_2$ ด้วยล่ะครับ ในเมื่อเราใช้ $\epsilon/2$ ตัวเดียวกัน

คุณ Suan123 เรียนเศรษฐศาสตร์เหรอครับเนี่ย สาขานี้ก็ใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์เยอะมากครับ ว่างๆจะลองไปเรียน Game Theory ดูบ้างเหมือนกันครับ

[M@gpie]

อ่า ผมคงสับสนน่ะครับ แต่รวมๆแล้วไม่ผิดนะครับ 55