ข้อสอบ สอวน. มน. ค่าย 2 ครั้งที่ 2

[BLACK-Dragon]

Inequality

1.กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $a+b+c\geqslant abc$

จงแสดงว่า $a^2+b^2+c^2\geqslant \sqrt{3}abc$


สมการพหุนาม

1.ให้ $x^n+2nx^{n-1}+2n^2x^{n-2}...=0$

จงพิสูจน์ว่าต้องมีรากบางตัวที่ไม่เป็นจำนวนจริง

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

Inequality

1.กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $a+b+c\geqslant abc$

จงแสดงว่า $a^2+b^2+c^2\geqslant \sqrt{3}abc$


สมการพหุนาม

1.ให้ $x^n+2nx^{n-1}+2n^2x^{n-2}...=0$

จงพิสูจน์ว่าต้องมีรากบางตัวที่ไม่เป็นจำนวนจริง

ข้อแรก
$(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 3((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2) \geq 3abc(a+b+c) \geq 3(abc)^2$
ข้อสอง
ให้ $x_0,x_1,...,x_n$ เป็นราก สมมติให้เป็นจำนวนจริงหมด
จะได้ $(x_0+x_1+...+x_n)^2=4n^2=2(\sum_{i\not = j}x_ix_j)\rightarrow x_0^2+x_1^2+...+x_n^2=0$
จะได้ $x_0=x_1=...=x_n=0\rightarrow x_0+x_1+...+x_n=0=-2n$ Contradiction!

[MiNd169]

สมการพหุนาม

2.ให้ $a, b, c, d$ เป็นคำตอบของสมการ $x^4 - x^3 - x^2 -1 = 0$ และ $P(x) = x^6 - x^5 - x^3 - x^2 - x$ แล้ว $P(a) + P(b) + P(c) + P(d)$ มีค่าเท่าใด

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MiNd169

สมการพหุนาม

2.ให้ $a, b, c, d$ เป็นคำตอบของสมการ $x^4 - x^3 - x^2 -1 = 0$ และ $P(x) = x^6 - x^5 - x^3 - x^2 - x$ แล้ว $P(a) + P(b) + P(c) + P(d)$ มีค่าเท่าใด

พี่มาด์ยคงติดค่าย 3 แล้วล่ะมั้งครับ

ได้เยอะซะขนาดนั้นเก่งๆ พี่จูเนียร์ก็อีกคน

ข้อนี้ตอนทำในห้องสอบใช้ Newton ไม่เป็นเลยต้องมั่วเอา $x^6 - x^5 - x^3 - x^2 - x=(x^2+1)(x^4 - x^3 - x^2 -1 )+x^2-x+1$

[LightLucifer]

ตาม #4
$P(a)+P(b)+P(c)+P(d)=a^2+b^2+c^2+d^2-(a+b+c+d)+4$
แต่ $a+b+c+d=1, \sum_{sym}ab=-1 \rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=3$
$\therefore a^2+b^2+c^2+d^2-(a+b+c+d)+4=3-(1)+4=6$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ตาม #4
$P(a)+P(b)+P(c)+P(d)=a^2+b^2+c^2+d^2-(a+b+c+d)+4$
แต่ $a+b+c+d=1, \sum_{sym}ab=-1 \rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=3$
$\therefore a^2+b^2+c^2+d^2-(a+b+c+d)+4=3-(1)+4=6$

$x^6 - x^5 - x^3 - x^2 - x=(x^2+1)(x^4 - x^3 - x^2 -1 )+x^2-x+1$

ตรงที่แปลงมาเป็นตรงนี้ผมโชว์สเต็ปหารยาวให้เขาดูเลย 5555+

หารสังเคราะห์ไม่เป็น

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

$x^6 - x^5 - x^3 - x^2 - x=(x^2+1)(x^4 - x^3 - x^2 -1 )+x^2-x+1$

ตรงที่แปลงมาเป็นตรงนี้ผมโชว์สเต็ปหารยาวให้เขาดูเลย 5555+

หารสังเคราะห์ไม่เป็น

อาจเป็น Best Solution ก็ได้นะครับ

เพราะแทบทุกคนจะใช้ Newton กันหมดเลย

[จูกัดเหลียง]

$inequality$ อีกข้อ
กำหนด $(a_{n=1}^\infty)$ เป็นลำดับที่ของจำนวนเต็มบวก โดย $a_n\leqslant a_{n+1}$ $\forall n\geqslant 1\in \mathbb{N} สมมุติทุกๆสี่อันดับดัชนี (i,j,k,l) โดยที่ $i<j\leqslant k<l$
เเละ $i+l=j+k$ โดยสอดคล้องกับ $a_i+a_l>a_j+a_k$ จงหาค่าน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $a_2011$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

$inequality$ อีกข้อ

กำหนด $(a_{n=1}^\infty)$ เป็นลำดับที่ของจำนวนเต็มบวก โดย $a_n\leqslant a_{n+1}$

$\forall n\geqslant 1\in \mathbb{N}$ สมมุติทุกๆสี่อันดับดัชนี (i,j,k,l) โดยที่ $i<j\leqslant k<l$
เเละ $i+l=j+k$ โดยสอดคล้องกับ $a_i+a_l>a_j+a_k$ จงหาค่าน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $a_{2011}$

ข้อทำผิดครับ

[LightLucifer]

#6
1. ข้อนี้มันใช้หารสังเคราะห์ได้ด้วยเหรอครับ
2. แล้ว NEWTON ที่ว่านี่คืออะไรเหรอครับ
#8
คิดได้เท่าไหร่กันบ้างครับ ผมพอจะมีคำตอบอยู่ในใจ
แต่ไม่น่าจะถูกเพราะมันมีค่าเยอะเกินไป =="

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

#6
1. ข้อนี้มันใช้หารสังเคราะห์ได้ด้วยเหรอครับ
2. แล้ว NEWTON ที่ว่านี่คืออะไรเหรอครับ
#8
คิดได้เท่าไหร่กันบ้างครับ ผมพอจะมีคำตอบอยู่ในใจ
แต่ไม่น่าจะถูกเพราะมันมีค่าเยอะเกินไป =="

2 ล้านกว่าอ่ะครับ ลงท้ายด้วย 7

หารสังเคราะห์ไม่เป็นครับถึงไม่รู้ว่าได้หรือไม่ได้

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

#6
1. ข้อนี้มันใช้หารสังเคราะห์ได้ด้วยเหรอครับ
2. แล้ว NEWTON ที่ว่านี่คืออะไรเหรอครับ
#8
คิดได้เท่าไหร่กันบ้างครับ ผมพอจะมีคำตอบอยู่ในใจ
แต่ไม่น่าจะถูกเพราะมันมีค่าเยอะเกินไป =="

สูตรการหา $S_n = a^n + b^n + c^n + d^n$(กรณีมีคำตอบราก 4 ตัว)

ข้อนั้นเฉลยก็เป็นล้านครับ รู้สึกน่าจะ 2xxxxxx

[LightLucifer]

ใช้ NEWTON น่าจะยาวเหมือนกันแหะ
ผมได้ 2,019,046 อ่ะครับ แต่มันลงท้ายด้วย 6 อ่ะ =="

ปล แก้ใหม่ครับ เจอค่าที่น้อยกว่าแล้ว =="

[MiNd169]

2021056 น่าจะถูกแล้วครับ

เก่งจัง วิธีคิดยาวมากแน่ๆเลย

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MiNd169

2021056 น่าจะถูกแล้วครับ

เก่งจัง วิธีคิดยาวมากแน่ๆเลย

มันไม่ได้มี +1 ตรงท้ายอีกหรอ ไม่แน่ใจเฉลยอ่ะครับ