ขอโจทย์ อินทิเกรตฟังก์ชันตรีโกณมิติ

[Metamorphosis]

ขอโจทย์ พวก อินทิเกรตฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ หน่อยครับ เอาแบบง่าย ๆ ก่อนครับ

[nooonuii]

$\int \cos{x}\,\,dx$

$\int \cos^2{x}\,\,dx$

$\int \cos^3{x}\,\,dx$

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$\int \cos{x}\,\,dx$

$\int \cos^2{x}\,\,dx$

$\int \cos^3{x}\,\,dx$

$\int \cos{x}\,\,dx =\sin{x}+C$
$\int \cos^2{x}\,\,dx = \int \dfrac{1+\cos{2x}}{2} \,\,dx = \dfrac{1}{2} \int \,\,dx + \int \dfrac{\cos{2x}}{4} \,\,d(2x) = \dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin{2x}}{4}+C $
$\int \cos^3{x}\,\,dx = \int \cos^2{x}\cos{x}\,\,dx = \int (1- \sin^2x)\cos{x}\,\,dx = \int (1- \sin^2x)\,\,d(\sin{x}) = \sin{x} - \dfrac{\sin^3{x}}{3}+C $

[Metamorphosis]

ขอโจทย์เพิ่มหน่อยงับ

[nooonuii]

$\int \tan^2 x\, dx$

$\int \dfrac{\sin x}{\cos x+\sin x}\,\,dx$

ตัวที่สองอาจจะยากเกินไปสำหรับผู้เริ่มต้นครับ

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$\int \tan^2 x\, dx$

$\int \tan^2 x\, dx = \int \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \, dx =\int \dfrac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x} \, dx = \int (\dfrac{1}{\cos^2 x} -1\,) dx = \int (\sec^2 x -1\,) dx = \tan x - x + C$

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$\int \dfrac{\sin x}{\cos x+\sin x}\,\,dx$

ตัวที่สองอาจจะยากเกินไปสำหรับผู้เริ่มต้นครับ

$\int \dfrac{\sin x}{\cos x+\sin x}\,\,dx = \int \dfrac{\sin x(\cos x-\sin x)}{\cos^2 x-\sin^2 x}\,\,dx= \int \dfrac{\sin x(\cos x-\sin x)}{\cos 2x}\,\,dx = $ ทำยังไงต่อหรอครับ

[nooonuii]

ยังไปต่อได้ครับ ส่วนแรกทำให้เป็น $\dfrac{1}{2}\tan{2x}$ ส่วนที่สองลองเปลี่ยน $\sin^2 x$ เป็น $\dfrac{1-\cos 2x}{2}$

ผมมีอีกวิธีที่ง่ายกว่าแต่ต้องใช้ trick ที่ยากขึ้นครับ

[-InnoXenT-]

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=7038

ตามลิงค์นี้เลยครับ

[Yuranan]

ไม่รู้ว่าง่ายขึ้นรึป่าวนะคับผมให้ $$u=tan(\frac{x}{2})$$ คำตอบคือ $$(x-ln(sinx+cosx))/2+c$$

[Metamorphosis]

ขอโจทย์เพิ่มอีกครับ

[PP_nine]

$\int arctanx \,dx $
$\int x \cdot arctanx \,dx$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$\int \dfrac{\sin x}{\cos x+\sin x}\,\,dx$

ข้อนี้มีวิธีคิดหลากหลายดีครับ ผมให้อีกวิธีนึง

ให้ $u=\sin x+\cos x$

$du=(\cos x-\sin x)dx$

แต่เราทราบว่า

$\sin x=\dfrac{(\sin x+\cos x)-(\cos x-\sin x)}{2}$

จึงได้

$\int \dfrac{\sin x}{\cos x+\sin x}\,\,dx=\int \dfrac{dx}{2}-\dfrac{du}{2u}$

$=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\ln(\cos x+\sin x)}{2}+C$