ท่านผู้รู้คับ ช่วยตอบปัญหา(หลักการเพิ่มเข้า-ตัดออก)ให้ผมที่คับ

[S[a]T[a]N S(anzo)N]

ผมเป็นคนที่ไม่เก่งคณิตศาสตร์เลยคับ แต่บังเอิญผมจับได้โจทย์เรื่อง หลักการเพิ่มเข้า-ตัดออกมาได้ ซึ่งผมจะต้องไปแสดงวิธีทำให้อาจารย์ดูหน้าชั้นคับ ผมจึงอยากจะขอความช่วยเหลือจากท่านผู้รู้ทั้งหลายด้วยคับ(แสดงวิธีคิดให้ด้วยนะคับ)

1. จงหาจำนวนชุดคำตอบที่เป็ยจำนวนเต็มของสมการ $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 = 60$ ในแต่ละข้อต่อไปนี้

1.1 $x_1\geq i-1$ ทุกๆ i = 1,2,....,6

1.2 $x_1\geq 2$ , $x_2\geq 5$ , $2\leq x_3\leq 7$ , $x_4\geq 1$ , $x_5\geq 3$ และ $x_6\geq 2$

2. จงหาจำนวนชุดคำตอบที่เป็นจำนวนนับของสมการ $(x_1+x_2+x_3)(y_1+y_2+y_3+y_4) = 77$


โปรดช่วยผมด้วยนะคับ เป็นพระคุณอย่างสูงคับ
ขอบคุณมากๆๆคับ

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ S[a]T[a]N S(anzo)N

1. จงหาจำนวนชุดคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มของสมการ $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 = 60$ ในแต่ละข้อต่อไปนี้

1.1 $x_1\geq i-1$ ทุกๆ i = 1,2,....,6

1.2 $x_1\geq 2$ , $x_2\geq 5$ , $2\leq x_3\leq 7$ , $x_4\geq 1$ , $x_5\geq 3$ และ $x_6\geq 2$

solution ของผมใช้คอมบิในการแก้นะครับ
1.1

solution

$\because x_1\geq i-1$ ทุกๆ i = 1,2,....,6
กำหนด$y=x-(i-1)$
$\therefore $ $y\geq 0$
กรณีที่ 1 $x_1\geq 0;i=1$
แทนค่า $x_1=y+(i-1)=y$ จะได้ $y+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 = 60$
$\therefore $ จำนวนชุดได้เท่ากับ$\binom{60+6-1}{60} $
กรณีที่ 2 $x_1\geq 1;i=2$
แทนค่า $x_1=y+(i-1)=y+1$ จะได้ $y+1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 = 60$
$y+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 = 59$
$\therefore $ จำนวนชุดได้เท่ากับ$\binom{59+6-1}{59} $
พิจารณาในทำนองเดียวกันถึงกรณีที่ 6
กรณีที่ 6 $x_1\geq 5;i=6$
แทนค่า $x_1=y+(i-1)=y+5$ จะได้ $y+5+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 = 60$
$y+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 = 55$
$\therefore $ จำนวนชุดได้เท่ากับ$\binom{55+6-1}{55} $
แล้วนำคำตอบของทั้ง 6 กรณีมารวมกันครับ

1.2

solution

$y_1=x_1-2$
$y_2=x_2-5$
$y_4=x_4-1$
$y_5=x_5-3$
$y_6=x_6-2$แล้วนำไปแทนจะได้
$(y_1+2)+(y_2+5)+x_3+(y_4+1)+(y_5+3)+(y_6+2) = 60$
$y_1+y_2+x_3+y_4+y_5+y_6 = 47$
แล้วก็พิจารณาเหมือนกับข้อ 1.1 โดยให้ $x_3=2,4,...,7$ แล้วเอาคำตอบในแต่ละกรณีที่ได้มาบวกกันเช่น
$x_3=2$ จะได้ $y_1+y_2+2+y_4+y_5+y_6 = 47$
$y_1+y_2+y_4+y_5+y_6 = 45$
$\therefore $ จำนวนชุดได้เท่ากับ$\binom{45+5-1}{45} $

2. จงหาจำนวนชุดคำตอบที่เป็นจำนวนนับของสมการ $(x_1+x_2+x_3)(y_1+y_2+y_3+y_4) = 77$

1.2

solution

$77 =11\times 7=7\times11$
แล้วแบ่งกรณี เช่น ให้ $x_1+x_2+x_3=11,y_1+y_2+y_3+y_4=7$
หรือ$x_1+x_2+x_3=7,y_1+y_2+y_3+y_4=11$
แล้วก็คิดคำตอบเหมือนข้อที่ 1 ออกมาครับ

[S[a]T[a]N S(anzo)N]

ขอบคุณท่านkanakonมากนะคับ รอดตายแล้วล่ะผม