เรื่อง ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์

[miracle-]

อธิบายให้ผมด้วยนะครับ

1.ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมที่มีพจน์ทั่วไปเป็น an = n(n+1) เท่ากับอะไร

2.ผลบวก 7 พจน์แรกของอนุกรม 1+(1+2+3)+(1+2+3+4+5)+(1+2+3+4+5+6+7)+... มีค่าเท่ากับอะไร

3.ผลสำเร็จของ \sum_{n = 5}^{15} (k+5)(k-5) เป็นเท่าใด

อีก 2 ข้อครับ

http://image.ohozaa.com/view2/vWIDZwP3i5fZqMZq

[poper]

1.ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมที่มีพจน์ทั่วไปเป็น an = n(n+1) เท่ากับอะไร

$S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{n}(k^2+k)=\sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}k$

2.ผลบวก 7 พจน์แรกของอนุกรม 1+(1+2+3)+(1+2+3+4+5)+(1+2+3+4+5+6+7)+... มีค่าเท่ากับอะไร

$a_n=\sum_{k=1}^{2n-1}k=n(2n-1)$
$S_7=\sum_{k=1}^{7}a_k$

3.ผลสำเร็จของ \sum_{n = 5}^{15} (k+5)(k-5) เป็นเท่าใด

$\sum_{n=5}^{15}(k+5)(k-5)=\sum_{n=5}^{15}(k^2-25)=\sum_{n=1}^{15}(k^2-25)-\sum_{n=1}^{4}(k^2-25)$

[poper]

$$\frac{1+1}{3}+\frac{1+2}{9}+\frac{1+4}{27}+\frac{1+8}{81}+...$$

$=(\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+....)+(\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\frac{8}{81}+...)$
$$A=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+....=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$$
$B=\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\frac{8}{81}+...----(1)$
$\frac{1}{3}B=\frac{1}{9}+\frac{2}{27}+\frac{4}{81}+....---(2)$
$(1)-(2) :\frac{2}{3}B=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{2}{27}+\frac{4}{81}+...$
$2B=1+\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+....=1+B$
$B=1$
$\therefore A+B=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$

[poper]

$\frac{3}{1(4)}+\frac{5}{4(9)}+\frac{7}{9(16)}+\frac{9}{16(25)}+...+\frac{2n-1}{n^2(n+1)^2}$

$\frac{2n-1}{n^2(n+1)^2}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}$
$S_{20}=(1-\frac{1}{2^2})+(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2})+(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2})+(\frac{1}{4^2}-\frac{1}{5^2})+...+(\frac{1}{20^2}-\frac{1}{21^2})$
$=1-\frac{1}{21^2}=\frac{440}{441}$

[miracle-]

ผมขอถามอีกข้อครับ

2(7)+3(9)+4(11)+... ผลบวก 10 พจน์คือ ?

มีคนบอกให้ผม แปลงเป็น (n+1)(2n+5) แล้วใส่ซิกม่า

ผมอยากรุ้ สูตรมันเป็นไงอะครับ รู้แต่ n(n+1)/2

[poper]

แยกเลขตัวหน้ากับตัวหลังครับ
เลขตัวหน้า $=2,3,4,...=n+1$
เลขตัวหลัง $7,9,11,...=2n+5$
ดังนั้น $a_n=(n+1)(2n+5)$ ครับ

[miracle-]

ไม่ใช่ครับ ผมหมายถึงสูตร เช่น ∑15n=1(k2−25)−∑4n=1(k2−25) ทำอย่างไรต่อครับ ให้มันเป็นผลบวก

[poper]

อ้าว
ใช้สูตรนี้ครับ
$$\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
ส่วนค่าคงที่ก็เป็น
$$\sum_{k=1}^{n}c=cn$$

[miracle-]

เอางี้ดีกว่าครับ สมมุติเป็นโจทย์ข้อนี้ 2(7)+3(9)+4(11)+... ผลบวก 10 พจน์คือ ?

แยกรูปมาตรฐาน (n+1)(2n+5) แล้วผมจะทำอย่างไรต่้อ ให้รู้ ผลบวกของ n = 1-7

มันต้องทำ ซิกม่าใช่ไหมครับ แล้วผมไม่รู้สูตรนี่อะครับ

[poper]

งั้นผมทำเต็มๆให้ดูละกันนะครับ
$a_n=(n+1)(2n+5)=2n^2+7n+5$
$$S_{10}=\sum_{k=1}^{10}(2k^2+7k+5)=2\sum_{k=1}^{10}k^2+7\sum_{k=1}^{10}k+\sum_{k=1}^{10}5$$
แล้วแทนค่าตามสูตรที่ให้ไปจะได้ว่า
$$S_{10}=2(\frac{10(11)(21)}{6})+7(\frac{10(11)}{2})+5(10)$$
$$=(10)(11)(7)+7(5)(11)+5(10)$$
แล้วก็คิดเลขออกมาครับ

[miracle-]

โอเคครับขอบคุณมากครับ

[miracle-]

ผมขออีกข้อครับ 4/3*5*7 + 4/5*7*9 + 4/7*9*11 + .... + 4/(2n+1)(2n+3)(2n+5) ทำอย่างไรครับ

[lek2554]

$\dfrac{4}{3\cdot 5\cdot 7} =\dfrac{1}{3\cdot 5}-\dfrac{1}{5\cdot 7}$

[poper]

ใช้แยกเศษส่วนย่อยแบบนี้ครับ$$\frac{4}{(2n+1)(2n+3)(2n+5)}=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}-\frac{1}{(2n+3)(2n+5)}$$