แยกตัวประกอบ Kumon 3 ข้อครับ (ใหม่)

[first]

$1. x^3 + (2a + 1) x^2 + (a^2 + 2a - 1) x + (a^2 - 1)$
$2. ax^2 - a^3 - a^2b + ab^2 + b^3 - bx^2$
$3. (xy - 1) (x - 1) (y + 1) - xy$

ช่วยแยกตัวประกอบทั้งสามข้อเลยนะครับ
และแสดงวิธีทำอย่างละเอียด

[Spy Hunter]

X3 + (2a+1)X2 +(a2 +2a-1)X + (a2 ?1)
ก่อนอื่นแจก X เข้าในวงเล็บตามนี้
X3 + (2a+1)X2 + X(a2 ?1)+2aX +( a2 ?1)
X3 + (2a+1)X2 + (X+1)( a2 ?1) +2aX
ต่อไปแจกX วงเล็บที่เหลือ
X3 + 2aX2 + X2 + (X+1)( a2 ?1) +2aX
X2 (X+1) + 2aX(X+1) + (X+1)( a2 ?1)
(X+1)( X2+2aX+ a2 ?1)
(X+1)[ (X+a) 2 ? 1 ]
(X+1)(X+a+1)(X+a-1)
เสร็จสิ้นครับข้อ 1 ข้อ 2 กับ 3 เด๋วผมคิดต่อให้นะพอดีเจอตอนดึกง่วง

[Spy Hunter]

พอดีผมใช้ LATEX ยังไม่เป็น ไอ X3 อ่ะ คือ X ยกกำลัง 3 นะ
อย่าง a2 คือ aยกกำลัง 2 นะ

Sorry ครับ

[M@gpie]

อย่าลืมฝึกใช้ Latex นะครับ คุณ Spy Hunter
ข้อ 2. $(a-b)(x-a-b)(x+a+b)$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ first

$1. x^3 + (2a + 1) x^2 + (a^2 + 2a - 1) x + (a^2 - 1)$
$2. ax^2 - a^3 - a^2b + ab^2 + b^3 - bx^2$
$3. (xy - 1) (x - 1) (y + 1) - xy$

ขอเสนออีกวิธีนึงครับ วิธีนี้อาจจะดูยุ่งยากไปนิดนึงแต่ตรงไปตรงมาและไม่ต้องนั่งทางในหาตัวประกอบครับ แนวคิดคือมองโจทย์ให้เป็นสมการกำลังสองของพหุนามตัวแปรใดตัวแปรหนึ่ง

1. เขียนใหม่ได้เป็น $(x+1)a^2+(2x^2+2x)a+(x+1)(x^2-1)=(x+1)[a^2+2xa+(x-1)(x+1)]$

แก้สมการหาค่า $a$ จะได้ $a=\dfrac{-2x\pm 2}{2}=-x\pm 1$

ดังนั้น แยกตัวประกอบได้เป็น $(x+1)(x+a-1)(x+a+1)$

2. เขียนใหม่ได้เป็น

$(a-b)x^2 + (b^3-a^3)+ab(b-a) =(a-b)(x^2-(a+b)^2)$

$=(a-b)(x+a+b)(x-a-b)$

3. เขียนใหม่ได้เป็น

$(y^2+y)x^2-(y^2+3y+1)x+(y+1)$

แก้สมการหา $x$ จะได้

$x=\dfrac{(y^2+3y+1)\pm\sqrt{(y^2+3y+1)^2-4y(y+1)^2}}{2y(y+1)}$

$=\dfrac{(y^2+3y+1)\pm\sqrt{y^4+2y^3+3y^2+2y+1}}{2y(y+1)}$

$=\dfrac{(y^2+3y+1)\pm\sqrt{(y^2+y+1)^2}}{2y(y+1)}$

$=\dfrac{(y^2+3y+1)\pm(y^2+y+1)}{2y(y+1)}$

$=\dfrac{y+1}{y},\dfrac{1}{y+1}$

ดังนั้นแยกตัวประกอบได้เป็น $y(y+1)\Big(x-\dfrac{y+1}{y}\Big)\Big(x-\dfrac{1}{y+1}\Big)$

$=(xy-y-1)(xy+x-1)$

เอ่อ ใครอยากลองเอาไปใช้ก็ตามสบายครับ แต่ผมว่านั่งทางในน่าจะง่ายกว่า

[first]

คุณ nooonuii ครับ คือข้อที่1กับ3 มีวิธีคิดโดยไม่ใช้สูตรมีไหมครับ
คือหลักของคุมอง 3 ข้อนี้ไม่ได้ให้ใช้สูตรนะครับ แต่ใช้วิธีจัดกลุ่มได้นะครับ
ช่วยแก้ไขด้วยนะครับ

[first]

มีอีกข้อครับ เป็นข้อ 4 นะครับ
$4. a^2 + 3b^2 + 4ab + 2ac + 6bc - 4b + 4c - 4$
โดยเรียงพจน์ตามกำลังของ a,b,c (เลือกทำอย่างใดอย่างหนึ่ง)
ช่วยบอกพจน์ที่จะทำด้วยนะครับ ทำทั้ง 3 พจน์เลยยิ่งดีครับ
ขอบคุณครับ

[Spy Hunter]

ขอบอกก่อนนะว่าใช้ได้โจทย์ ผมคิดหาคำตอบโดยวิธีส่วนตัวก่อนอันนี้แยยละเอียดนะ
(ขออภัยอาจมีผิดผมเบลอบ่อยครับ หุ หุ หุ)
แยกเข้ากลุ่มตามนี้
$(a^2-4)+(2ac+4c)+3b^2+4ab+6bc-4b$
จะได้ $(a-2)(a+2)+(a+2)(2c)+3b^2+4ab+6bc-4b$
$(a+2)(a-2+2c)+4ab+8b-12b+6bc+3b^2$
$(a+2)(a-2+2c)+4b(a+2)-12b+6bc+3b^2$
$(a+2)(a-2+2c)+b(a+2)+3b(a+2)-12b+6bc+3b^2$
$(a+2)(a-2+2c+b)+3b(a+2)+3b(-4+2c+b)$
$(a+2)(a-2+2c+b)+3b(a+2-4+2c+b)$
$(a+2)(a-2+2c+b)+3b(a-2+2c+b)$
$(a+3b+2)(a+b+2c-2)$
จบแล้วครับโหเหนื่อยแฮะ
หวังว่าคงละเอียดพอนะครับ

[Mathophile]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ first

$1. x^3 + (2a + 1) x^2 + (a^2 + 2a - 1) x + (a^2 - 1)$
$3.(xy-1)(x-1)(y+1)-xy$

อีกวิธีหนึ่งคือใช้วิธีเทียบสัมประสิทธิ์ครับ
ข้อ 1. สมมติให้ $x^3 + (2a + 1) x^2 + (a^2 + 2a - 1) x + (a^2 - 1)=(x+k_1)(x+k_2)(x+k_3)$
เทียบสัมประสิทธิ์ จะได้
$$\begin{array}{rcl}
k_1+k_2+k_3&=&2a+1\\
k_1k_2+k_2k_3+k_3k_1&=&a^2+2a-1\\
k_1k_2k_3&=&a^2-1\\
\end{array}$$
(สังเกตบรรทัดแรกคือนำ $k$ มาทีละ 1 ตัว บรรทัดต่อมาก็คือทีละ 2 และ 3 ตัวตามลำดับ)
โดยการสังเกตจากสมการสุดท้าย (ดูว่าอะไรคูณกันแล้วได้ $a^2-1$) จะได้ $(k_1,k_2,k_3)=(1,a+1,a-1)$ (สลับที่กันได้)
และเมื่อนำไปตรวจสอบกับสองสมการที่เหลือ พบว่าสมการเป็นจริง
ฉะนั้น $x^3 + (2a + 1) x^2 + (a^2 + 2a - 1) x + (a^2 - 1)=(x+1)(x+a+1)(x+a-1)$

ส่วนข้อ 3. พิจารณา $(xy-1)(x-1)(y+1)-xy=(xy-1)(xy+(x-y-1))-xy$
แทนที่จะมองในรูปพหุนามตัวแปร $x$ เหมือนข้อ 1. ให้มองให้รูปของพหุนาม $xy$ โดยให้ $xy=z$ ฉะนั้น
$$\begin{array}{rcl}
(xy-1)(x-1)(y+1)-xy&=&(z-1)(z+(x-y-1))-xy\\
&=&z^2+(x-y-2)z-(xy+x-y-1)\\
&=&z^2+(x-y-2)z-(x-1)(y+1)\\
&=&z^2+(x-y-2)z+(x-1)(-y-1)\\
&=&(z+x-1)(z-y-1)\\
&=&(xy+x-1)(xy-y-1)
\end{array}$$
ในที่นี้แทน $xy=z$ เพื่อไม่ให้พหุนามดูซับซ้อนจนตาลายครับ และสังเกตว่าเราไม่แทน $xy$ พจน์สุดท้าย เพื่อให้พจน์ท้าย ๆ สามารถเขียนเป็นผลคูณได้ครับ