Cardan's Method

[CmKaN]

การหารากของพหุนามกำลังสามอ่ะครับคือว่าผมลองอ่านดูแล้วอ่ะครับ มันงงๆนิดนึง
พอเราจัดรูปสมการจาก $ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ให้เป็น $t^{3} + pt +q$ แล้วหลังจากนั้น
ให้ $t = u+v$ เป็นรากของสมการ $t^{3} + pt +q$ นั้นคือสมมติรากอยู่ในรูปแบบ u+v แล้วจะหา u และ vซึ่งจะได้ $u^{3} +v^{3} + (3uv + p)(u + v) = o$ (ต่อจากนี้คือจุดที่งงครับ) เพื่อให้ไม่มีกำลังหนึ่งจึงให้ $3uv + p = 0$ และจะได้ $u^{3} + v^{3} = -q$ ทำให้ได้ระบบสมการ $u^{3} +v^{3} =-q$ และ $uv = -\frac{p}{3}$ (แล้วเรากำหมดให้ไม่มีกำลังหนึ่งได้เหรอครับ) ซึ่งแสดงว่า $u^{3} + v^{3}$ เป็นรากของสมการ $y^{2} + qy - \frac{p^{3}}{27} = 0$
(รู้ได้ไงครับว่ามันจะเป็นรากของสมการนี้) พอได้ถึงขั้นนี้แล้วทำยังไงต่อเหรอครับ$

editถามเพิ่มครับ

แล้วผลเฉลยของ congruet สามารถนำไปทำอะไรได้บ้างครับ แล้วก็ Congruet,moduloประยุกต์ใช้ใน
การแก้โจทย์ปัญหาต่างๆได้ยังไงเหรอครับ พอดีอ่านเนื้อหาย่อๆแล้วแต่ไม่รู้จะประยุกต์ใช้ในโจทย์ประเภทไหน อย่างไร ถ้ามีเวลาก็กรุณาช่วยยกตัวอย่างโจทย์สามารถใช้congruetแก้ได้อ่ะครับ

[CmKaN]

ถามต่อเลยนะครับ $x^{3} - 3x^{2} - 3x -1 =0$
มีรากของระบบสมการ เป็นอย่างนี้ไหมครับ
$\sqrt[3]{\frac{7 + \sqrt{ 17 }}{2} }$ + $\sqrt[3]{ \frac{7 - \sqrt{ 17 }}{2} }$ + $1$
, $\sqrt[3]{\frac{7 + \sqrt{ 17 }}{2} }$w + $\sqrt[3]{ \frac{7 - \sqrt{ 17 }}{2} }\omega^{2}$ + $1$
, $\sqrt[3]{\frac{7 + \sqrt{ 17 }}{2} }\omega^{2}$ + $\sqrt[3]{ \frac{7 - \sqrt{ 17 }}{2} }\omega$ + $1$

เมื่อ $\omega$ เป็นรากปฐมฐาน

ทดสอบ

$\omega^{2}$

[gon]

ผมเลือกตอบคำถามที่อธิบายง่ายก่อนนะครับ.

ตรงจุดแรกที่เขียนว่า $u^3 + v^3$ เป็นรากของสมการ $y^{2} + qy - \frac{p^{3}}{27} = 0$

นี่ไม่ถูกนะครับ ที่ถูก ต้องเป็น $u^3, v^3$ จะเป็นรากของสมการ ...

ซึ่งใช้แนวคิดพื้นฐานที่ว่า สมการกำลังสองที่เรารู้ ผลบวกของราก และ ผลคูณของราก คือ

$x^2 - (ผลบวกของราก)x + ผลคูณของราก = 0$

สำหรับตัวแปรจะใช้ตัวอื่นที่ไม่ใช่ x ก็ได้

[CmKaN]

ขอบคุณมากครับเข้าใจแล้วครับ แต่พอหา$u,v$ ได้แล้วจะได้รากของสมการเลยไหมครับ
เห็นผมอ่านในหนังสือสอวน. มันต้องมี รากปฐมฐานมาเกี่ยวข้องแต่อ่านยังไม่เข้าใจอ่ะครับ สรุปแล้วพอเรารู้$u,v$สามารถตอบได้เลยไหมครับ

[M@gpie]

ก็เพราะว่า เนื่องจาก $u^3, v^3$ เป็นคำตอบของสมการ $y^2+qy+\frac{p^3}{27}=0$ ไงล่ะครับ
พอได้คำตอบมาต้องการหา $u,v$ ก็ต้องทำการถอดรากที่ 3 โดยลองแยกกรณีดูครับจะได้ตามที่เขาว่าไว้

[CmKaN]

คือว่ายังไม่ทราบว่าตัวเองเข้าใจจริงๆรึเปล่าเลยลองจะทำดูนะครับ ถ้าผิดตรงไหนพี่ๆช่วยบอกด้วยนะครับ
โจทย์จงหาค่าx จากสมการ $x^{3}-3x^{2}-3x-1=0 \text{จัดเป็นรูป} t^{3}+pt+q$ไดยการแทน $x=t-\frac{b}{3a}$ ได้เป็น $t^{3}-6t-6=0$ ให้ $t=u+v\text{เป็นคำตอบของสมการดังกล่าว แทนค่า} u^{3}+v^{3}+(3uv-6)(u+v)-6 =0$ ต้องการให้กำลังหนึ่งหมดไป ให้ $3uv-6=0,uv=2$ และก็จะได้ $ u^{3}+v^{3}=6 $ เนื่องจาก $u^{4}และv^{3}$เป็นรากของสมการก้ารกำลังสองรูปทั่วไปจะได้ว่า $(y-u^{3})(y-v^{3}) =0 , y^{2}-(u^{3}+v^{3})y + u^{3}v^{3} =0$แทนค่า
$ y^{2}-6y+8=0 $ ได้ $u=\sqrt[3]{2} \text{และ} v=\sqrt[3]{4}$ ดังนั้น ได้ค่าxคือ u+v+1 ซึ่งก็คือ$\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}+1$รึเปล่าครับ แต่สมการกำลังสามต้องมี3ตัวแปรไม่ใช่เหรอครับ งั้นจะหาอีกสองตัวยังไงเหรอครับ

[Mastermander]

$$x^3-3x^2-3x-1=0$$

By Mathematica

$$ x=1+2^{1/3}+2^{2/3}$$

$$ x=1-\frac{1-i\sqrt3}{2^{1/3}}-\frac{1+i\sqrt3}{2^{2/3}}$$

$$ x=1-\frac{1-i\sqrt3}{2^{2/3}}-\frac{1+i\sqrt3}{2^{1/3}} $$

[M@gpie]

ที่น้องทำ ถูกต้องแล้วครับ ลองทำดูซักข้อสองข้อให้พอเข้าใจวิธีทำก็พอแล้วครับ
โอกาสที่จะใช้มีน้อยมาก ให้รู้ว่ามีวิธีการแก้อยู่ในโลกนี้ก็โอเค ละครับ

[TOP]

ให้ $\omega ^3 = 1$ และ $\omega \not= 1$ (เช่น $\omega = \frac{-1+i \sqrt{3}}{2}$)
ในกรณีนี้ $u = 2^{1/3}$ และ $v = 4^{1/3}$
นั่นก็หมายความว่า ค่า $u$ ที่เป็นไปได้มี 3 ค่าคือ $\sqrt[3]{2}\ ,\ \omega \sqrt[3]{2}\ ,\ \omega ^2 \sqrt[3]{2}$
ในทำนองเดียวกัน ค่า $v$ ที่เป็นไปได้มี 3 ค่าคือ $\sqrt[3]{4}\ ,\ \omega \sqrt[3]{4}\ ,\ \omega ^2 \sqrt[3]{4}$

ดังนั้น $1+u+v$ เป็นไปได้ทั้งหมด $3 \times 3 = 9$ รูปแบบ คือ

• $1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$
• $1 + \sqrt[3]{2} + \omega \sqrt[3]{4}$
• $1 + \sqrt[3]{2} + \omega ^2 \sqrt[3]{4}$
• $1 + \omega \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$
• $1 + \omega \sqrt[3]{2} + \omega \sqrt[3]{4}$
• $1 + \omega \sqrt[3]{2} + \omega ^2 \sqrt[3]{4}$
• $1 + \omega ^2 \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$
• $1 + \omega ^2 \sqrt[3]{2} + \omega \sqrt[3]{4}$
• $1 + \omega ^2 \sqrt[3]{2} + \omega ^2 \sqrt[3]{4}$

รูปแบบที่จะเป็นคำตอบนั้นต้องสอดคล้องกับเงื่อนไขที่ $uv = 2$ ด้วย
นั่นคือคู่ของ $u,v$ ที่สอดคล้องกันคือ

• $u = \sqrt[3]{2}$ และ $v = \sqrt[3]{4}$
• $u = \omega ^2 \sqrt[3]{2}$ และ $v = \omega \sqrt[3]{4}$
• $u = \omega \sqrt[3]{2}$ และ $v = \omega ^2 \sqrt[3]{4}$

ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ

• $1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$
• $1 + \omega ^2 \sqrt[3]{2} + \omega \sqrt[3]{4}$
• $1 + \omega \sqrt[3]{2} + \omega ^2 \sqrt[3]{4}$

[CmKaN]

๐

ขอบคุณพี่ๆทุกคนครับที่ช่วยตอบ แต่ยังงงตรง $\omega^{3}=1 \text{ว่ามาจากไหนเหรอครับทำไมต้องใส่ลงไปด้วยอ่ะครับ }$

[TOP]

อ้าวเห็นน้องพูดถึง $\omega$ ในความเห็นด้านบน ก็นึกว่าเข้าใจที่มาแล้วซะอีก

ที่เราเขียนว่า $\omega ^ 3 = 1$ และ $\omega \not= 1$ นั้นหมายความว่าเราต้องการให้ $\omega = 1^{1/3}$ โดยที่ $\omega \not= 1$
นั่นก็คือ $|\omega| = 1$ และ $\omega$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่มีขนาดมุม $\frac{2\pi}{3}$ หรือ $\frac{4\pi}{3}$ เรเดียน หรือเขียนเต็มๆก็คือ
$\omega = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}$ หรือ $\omega = \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}$

แล้ว $\omega$ ช่วยให้อะไรง่ายขึ้นหรือเปล่า

เมื่อเราพูดถึง $\omega$ ที่ไม่เจาะจงค่าลงไปเลยว่าหมายถึงค่าไหน และเราไม่อยากเขียนให้ค่าติดในรูปแบบของจำนวนเชิงซ้อน พร้อมทั้งเครื่องหมายรากและเศษส่วนต่างๆเต็มไปหมด เราสามารถอ้างถึง $1^{1/3}$ ทุกค่าได้สั้นๆคือ
$1^{1/3} = 1\ ,\ \omega\ ,\ \omega^2$
ไม่ว่าเราจะเลือก $\omega$ เป็นค่าไหน ก็จะได้ $\omega^2$ เป็นอีกค่าหนึ่งเสมอ

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถอ้างถึง $1^{1/5}$ ทุกค่าได้สั้นๆคือ
$1^{1/5} = 1\ ,\ \omega\ ,\ \omega^2\ ,\ \omega^3\ ,\ \omega^4$
ในกรณีนี้ $\omega$ จะเป็นคนละตัวกับด้านบน คือ $\omega^5 = 1$ และ $\omega \not= 1$
และเช่นเดียวกัน ไม่ว่าเราจะเลือก $\omega$ เป็นค่าไหน (จาก $4$ ค่าที่เป็นไปได้) ก็จะได้ $\{\omega\ ,\ \omega^2\ ,\ \omega^3\ ,\ \omega^4\}$ เป็นเซตเดิมเสมอ

อย่างไรก็ตาม มีบางกรณีที่ $\omega$ เลือกแบบไม่เจาะจงไม่ได้ เช่น $\omega^4 = 1$ โดยที่ $\omega \not= 1$
หากเราเลือก $\omega = \cos \pi + i \sin \pi$ จะทำให้ $\omega^m$ เป็นได้เพียง $2$ ค่าคือ $-1\ ,\ 1$
ดังนั้น โดยทั่วไปเราจึงเลือก $\omega$ ค่าถัดมาที่ไม่ใช่ $1$ หรือหมายถึง $\omega = \cos \frac{2 \pi}{n} + i \sin \frac{2 \pi}{n}$

เมื่อเรานำ $\omega$ มาใช้กับการอ้างถึง $2^{1/3}$ ทุกค่าอย่างสั้นๆ ก็จะได้
$2^{1/3} = \sqrt[3]{2}\ ,\ \omega \sqrt[3]{2}\ ,\ \omega^2 \sqrt[3]{2}$

หรืออ้างถึง $2^{1/5}$ ทุกค่าอย่างสั้นๆ ก็จะได้
$2^{1/5} = \sqrt[5]{2}\ ,\ \omega \sqrt[5]{2}\ ,\ \omega^2 \sqrt[5]{2}\ ,\ \omega^3 \sqrt[5]{2}\ ,\ \omega^4 \sqrt[5]{2}$

[kongp]

เรียนที่ไหนครับ ยากจัง รึสมัยผมเรียนไม่มีสอนเรื่องนี้กันน๊า หลักสูตรใหม่ใช่มั้ย