เพชรยอดมงกุฎครั้งที่ ๖

[cenia]

ไฟล์ PDF

ขอบคุณ คุณ คนรักคณิต เป็นอย่างสูง สำหรับการอำนวยความสะดวกแก่ทุกท่าน รวมถึงผม มา ณ ที่นี้ครับ


1.รูปสามเหลี่ยมที่แนบในครึ่งวงกลมรัศมี r หน่วยที่มีพื้นที่มากที่สุด มีพื้นที่กี่ตารางหน่วย

2.ให้ $\theta \in (0,\frac{\pi}{2})$ และ $sin\theta+cos\theta =\sqrt{2}$ ค่าของ $tan3\theta$ เท่ากับเท่าไร

3.กล่องทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากใบหนึ่ง มีพื้นที่ผิวด้านข้าง ด้านหน้า และ ด้านบนเท่ากับ 12 ตารางนิ้ว 8 ตารางนิ้ว และ 6 ตารางนิ้ว ตามลำดับ ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมุมฉากใบนี้เท่ากับกี่ลูกบาศก์นิ้ว

4.ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้าย AC , BC และ AB เท่ากับ 24 เซนติเมตร 10 เซนติมเตร และ 26 เซนติเมตรตามลำดับ รัศมีของวงกลมที่แนบในรูปสามเหลี่ยม ABC ยาวเท่ากับกี่เซนติเมตร

5.ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม C เป็นมุมฉาก AD และ BE เป็นเส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ABC ถ้า AD และ BR ยาว 5 และ $\sqrt{40}$ หน่วยแล้ว AB ยาวกี่หน่วย

6.กำหนดให้วงกลมวงหนึ่งและสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งมีความยาวเส้นรอบรูปเท่ากัน ให้ p แทนพื้นที่ของวงกลมนั้น และ q แทนพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้น ข้อสรุปใดถูกต้อง
•p=q
•p=$\frac{\pi q}{4}$
•q=$\frac{\pi p}{4}$
•p=$\pi q$

7.ให้ a,b แทนจำนวนเต็มบวก ที่สอดคล้องกับสมการ
$$arctan\frac{1}{a}+arctan\frac{1}{b}=\frac{\pi}{4}$$
ค่าของ $a^2+b^2$ เท่ากับเท่าไร

8.ให้ $X=\left\{\,(a,b) \in R \times R:a^3+b^3=7 และ a^3+b^2+a+b+ab=4\right\} $ และ
$Y=\left\{\,a^2+b^2 : (a,b)\in X\right\} $
ข้อใด กล่าวถูกต้อง
•$Y=\{1\}$
•$Y=\{1,4\}$
•$Y=\{5\}$
•$Y=\{1,4,5\}$

9.ให้ x,y,z เป็นคำตอบของสมการ
$$(x+y)(x+y+z)=18$$
$$(y+z)(x+y+z)=30$$
$$(z+x)(x+y+z)=2$$
$y^2-z^2$ มีค่าเท่าไร

10.ให้ $A=\left\{\,\frac{x}{2}+\frac{y}{\pi}:x,y\in R , x>1 และ log_2x+log_x2+2cosy\leqslant 0\right\} $ ข้อใดต่อไปนี้ กล่าวถูกต้อง
•$A$ เป็นเซตจำกัด
•$1+\sqrt{2}\in A$ และ $1-\sqrt{2} \in A$
•ถ้า $z \in A $ แล้ว $\frac{z}{2} \in A$
•$100 \in A $ และ $-100 \in A$

11.ให้ (x,y) เป็นคำตอบของระบบสมการ
$$log_3(log_2x)+log_{\frac{1}{3}}(log_{\frac{1}{2}}y)=1$$
$$xy^2 = 4$$
ข้อใดถูกต้อง
•$x+y = 68$
•$xy^{-1}=256$
•$xy=32$
•$x-y=60$

12.ให้ x,y เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับสมการ
$$(xy-1)^2 = (x+1)^2+(y+1)^2$$
ข้อใดถูกต้อง
•$x=y$
•$x-y>1$
•$x^2+y^2=25$
•$\left|\,x-y\right| =1$

13.ให้ x,y,z เป็นจำนวนที่สอดคล้องกับสมการ
$$log_2x+log_4y+log_4z=2$$
$$log_3y+log_9z+log_9x=2$$
$$log_4z+log_16x+log_16y=2$$
ค่าของ x+y+z มีค่าเท่าไร

14.มีจำนวนเต็มบวก m,n ทั้งหมดกี่คู่ ที่สอดคล้องกับสมบัติทั้งสามข้อต่อไปนี้
ก. $0 < \frac{m}{n} <1$
ข. หรม. ของ m,n เท่ากับ 1
ค.$mn = 25!$

15.ให้ a,b,c เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับสมการ
$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{219+\sqrt{10080}+\sqrt{12600}+{\sqrt35280}}$$
ข้อสรุปใด ไม่ ถูกต้อง
•a+b+c = 219
•(a,b,c) = (30,84,105)
•abc = 264600
•ab+bc+ca = 14490

16.บทนิยาม เรียกจำนวนเต็มบวก $n\geqslant 3$ ว่า"จำนวนปกติ" ก็ต่อเมื่อมีจำนวนเต็มบวก m ที่ทำให้มุมภายในแต่ละมุมของรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีขนาด m องศา
จากบทนิยามข้างต้น จงหาว่ามีจำนวนเต็มบวกกี่จำนวนที่เป็นจำนวนปกติ

17.ให้ $q_1,q_2,q_3,...,q_n$ เป็นจำนวนตรรกยะที่สอดคล้องกับ
$$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt[3]{2}}=2^{q_1}+2^{q_2}+2^{q_3}+...+2^{q_n}$$
ค่าของ $n+q_1+q_2+q_3+...+q_n$

18.รูปหลายเหลี่ยมรูปหนึ่งมีขนาดของมุมภายในเรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิตที่มีผลต่างร่วมเป็น $4^{\circ}$ และมุมภายในที่มีขนาดใหญ่ที่สุด กาง $172^{\circ}$ มุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมรูปนี้ที่มีขนาดเล็กที่สุดมีขนาดเท่าไร

19. จากตาราง $4 \times 4$ ที่ถูกแบ่งออกเป็น 4 ส่วน ที่เป็นตารางขนาด $2\times 2$ ที่ล้อมรอบด้วยเส้นทึบดังรูป จากการกำหนดหมายเลข 1,2,3,4 ในแถวบนสุด ดังปรากฏในรูป จะมีกี่วิธี ในการใส่ตัวเลข 1,2,3,4 ลงในช่ิงที่เหลือ ช่องละ 1 หมายเลข โดยที่

ก.แต่ละแถวและแต่ละหลักของตารางจะต้องมีเลข 1,2,3,4 ปรากฎอยู่
ข.ในตาราง $2\times 2$ แต่ละตารางต้องมีเลข 1,2,3,4 ปรากฎอยู่


20.ให้ $f:\mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}$ ที่กำหนดโดย
$f(n)=\sum_{n = 1}^{n}(-1)^{i+1}i $
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก.มีจำนวนเต็มบวก a,b ที่ทำให้ $f(a)+f(b)+f(a+b) = 2007$
ข.มีจำนวนเต็มบวก c,d ที่ทำให้ $f(c)+f(d)+f(c+d) = 2008$
พิจารณาว่า ข้อใดถูกต้อง
•ข้อ ก. และ ข. ถูก
•ข้อ ก. ถูก แต่ข้อ ข. ผิด
•ข้อ ก. ผิด แต่ข้อ ข. ถูก
•ข้อ ก. และ ข. ผิด

21.ให้ $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R} $ และเป็นฟังก์ชันเพิ่ม โดยที่ $f(x)>\frac{-1}{x}$ และ $f(x)f(f(x)+\frac{1}{x})=1$สำหรับทุก $x>0$ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
•$f(1)=\frac{1+\sqrt5}{2}$
•$f(1)=\frac{1-\sqrt5}{2}$
•$f(1)=-1$
•$f(1)=\frac{1}{2}$

22.ให้ A,B,C เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่แต่ละวงรัศมียาว 2 หน่วย และแต่ละวงสัมผัสวงกลมอีกสองวงที่เหลือ ให้ X เป็นวงกลมที่มีจุกศูนย์กลางที่ C ทำให้ AX+XB = AC+CB แล้วพื้นที่สามเหลี่ยม AXB เท่ากับกี่ตารางหน่วย

23.ให้ $A=\left\{\,x\in \left[\,0,2\pi\right] : tan7x-sin6x=cos4x-cot7x \right\}$
ผลบวกของสมาชิกทุกตัวใน A มีค่าเท่าไร

24.ให้ ABCD เป็นรูปสามเหลี่ยมตางหมู BC//AD, $A\hat DC=57^{\circ},D\hat AB=33^{\circ}$, BC ยาว 6หน่วย และ AD ยาว 10 หน่วย ถ้า M และ N เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน BC และ AD ตามลำดับแล้ว $M\hat NA $

25.จากโจทย์ข้อที่ 24 ข้างต้น หาว่า MN ยาวเท่าไร

26.ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก
กำหนด sum(n) = ผลบวกของเลขโดดทุกจำนวนทีร่เขียนแทน n
เช่น sum(1517)=1+5+1+7 = 14
จำนวนเต็มบวก n ที่มากที่สุดที่สอดคล้องกับ $n=7\times sum(n)$ สอดคล้องกับสมบัติในข้อใดต่อไปนี้
•$n>100$
•$sum(n)>100$
•$n+sum(n)\leqslant 100$
•$9 เป็นตัวประกอบของ n$

27.กำหนด9 จุดในระนาบ XY คือ (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2) จะมีวงกลมในระนาบรวมทั้งหมดกี่วงที่ผ่านจุดอย่างน้อย 3 จุด ใน 9 จุดนี้

28.กำหนด $\alpha^{\circ} ,\beta^{\circ} ,\gamma^{\circ}$ เป็นมุมภายในสามเหลี่ยม จะมีจำนวนวิธีการเลือก$\alpha ,\beta,\gamma$ ทั้งหมดกี่แบบ โดยที่ $\alpha <\beta<\gamma$ และ $\alpha ,\beta,\gamma$ เป็นจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง 178

29.ให้ x,y,z เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการ
$$x+y+z=0$$
$$x^3+y^3+z^3=3$$
$$x^5+y^5+z^5=0$$
ค่าของ $x^{2008}+y^{2008}+z^{2008}$ มีค่าเท่าไร

30.สำหรับจำนวนจริง c กำหนด $f_c :\mathbb{Z}^+\rightarrow \mathbb{R} $ โดย $f_c(1)=c$ และ $f_c(n)=2(f_c(n-1))^2-1$ เมื่อ $n\geqslant 2$ ให้ $R_c$ แทนเรนจ์ของ $f_c$ ข้อใดถูกต้อง
•$f_1$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
•$R_{\frac{-1}{2}}\cap \mathbb{R} =\varnothing $
•$R_{-1}\cap R_1=\varnothing $
•$R_{\frac{1}{2}}\cap R_{\frac{-1}{2}}=\varnothing $

31.ถ้าสมการ $x^3-33x^2+354x+k=0$ มีรากสามรากเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตแล้ว k มีค่าเท่าไร

32.ให้ f(x) แทนพหุนามดีกรี 8 และสอดคล้องกับ
$f(m)=\frac{1}{m}$ ทุกๆ m=1,2,3,...,9
ค่าของ f(10) เป็นเท่าไร

33.ถ้ากำหนด n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้ $55n^3$ มีจำนวนตัวประกอบทั้งหมด 55 ตัว ถ้า $N=7n^7$ แล้ว N มีตัวประกอบทั้งหมดเท่าไร

34. ให้ x เป็นคำตอบของสมการ $4^x+4^{-x}=7$
จงหาค่าของ $8^x+8^{-x}$

35.ให้ $U=\left\{\,1,2,3,...,100\right\} $
$A=\left\{\,x\in U : 4 หาร x ลงตัว\right\} $
$B=\left\{\,x\in U : 6 หาร x ลงตัว\right\} $
ผลบวกของสมาชิกทุกตัวใน $(A \cap B)'$ มีค่าตรงกับข้อใด

36.ให้ $A =\left\{\,x\in\mathbb{Z}^+ : x \leqslant 1000 และ 7 หาร 2^x-x^2 ไม่ลงตัว \right\} $ จำนวนสมาชิกใน A มีค่าเท่าไร

37.มีำจำนวนเต็มบวก a,b ทั้งหมดกี่คู่ ที่สอดคล้องกับ
ก.$a\leqslant b$
ข.ครน.ของ a,b เท่ากับ 126000

38.ให้ x,y เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับระบบสมการ
$$x+y=1$$
$$xy=-3$$
ค่าของ $(x^3+1)(y^3+1)$ มีค่าเท่าไร

39.ค่าของ $N=\sum_{j= 1}^{100}\sum_{i = 1}^{j}\frac{i}{j} $ มีค่าเท่าไร

40.ให้ a,b,c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A,B,C ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ถ้า a,b,c สอดคล้องกับ
ก. c>a>b
ข. $2log(a-b)=loga+logb+log2$
ค. AB ยาว 10 หน่วย
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เท่ากับกี่ตารางหน่วย

เฉลยครับ 1-20(เป็นเฉลยแบบข้อๆ ไม่มีแสดงวิธีทำ)

1$.r^2$
2.-1
3.24
4.4
5.$2\sqrt{13}$
6.$q=\frac{\pi p}{4}$
7.13
8.$Y=\{1,4\}$
9.19.2
10.$100\in A และ -100 \in A$
11.$xy^{-1}=256$
12.$\left|\,x-y\right|=1 $
13.61
14.256
15.(a,b,c)=(30,84,105)
16.22
17.$\frac{13}{2}$
18.128
19.8
20.ข้อ ก.ผิด ข้อ ข.ถูก

เฉลยครับ 21-40(กลัวมันจะยาวไปมากกว่านี้)

21.$f(1)=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
22.$12(\sqrt{5}-\sqrt{3})$
23.$\frac{3\pi}{2}$
24.114
25.2
26.sum(n)>100
27.34
28.2700
29.0
30.$R_{\frac{-1}{2}}\cap \mathbb{R} =\varnothing$
31.-1232
32.$\frac{1}{5}$
33.352
34.18
35.3366
36.713
37.473
38.-16
39.2575
40.12.5

[{ChelseA}]

ข้อแรกได้ $r^2$ หรือป่าวครับ แหะๆ

ข้อสอง จาก$sin\theta+cos\theta =\sqrt{2}$ยกกำลังสองสองข้างได้ $sin^2\theta+cos^2\theta+2sin\theta cos\theta=2$
$=1+2sin\theta cos\theta=2$
$=sin2\theta =1$
จะได้ $\theta=45 $จากนั้นก็...

ข้อสามผมคิดได้ 36 ครับ

[cenia]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ {ChelseA}

ข้อแรกได้ $r^2$ หรือป่าวครับ แหะๆ

ข้อสอง จาก$sin\theta+cos\theta =\sqrt{2}$ยกกำลังสองสองข้างได้ $sin^2\theta+cos^2\theta+2sin\theta cos\theta=2$
$=1+2sin\theta cos\theta=2$
$=sin2\theta =1$
จะได้ $\theta=45 $จากนั้นก็...

ข้อสามผมคิดได้ 36 ครับ

ข้อแรก ถูกครับ

ข้อสอง ตอบ -1 ถูกเหมือนเดิม

ข้อสาม ผิดฮะ

[{ChelseA}]

ง่ะ ได้72ครับ ผิดซอยๆ

[cenia]

ทำไมผมมองไม่เห็น { } อ่า -*- งงฮะ คนอื่นมองเห็นไหม

มีวิธีพิมพ์ให้มันขึ้นรบกวนบอกด้วยเด้อ

[nongtum]

#5
เวลาพิมพ์ { หรือ } ใน TeX mode ให้พิมพ์ \{ หรือ \} ครับ

[[SIL]]

ข้อ 34 โจทย์ลืม - ป่าวน่อ

[คusักคณิm]

ต้องการ . pdf ป่ะครับ

[cenia]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL

]ข้อ 34 โจทย์ลืม - ป่าวน่อ

ข้อ 34 ถามว่า $8^x+8^x$ มีค่าเท่าไร ครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

ต้องการ . pdf ป่ะครับ

ถ้าทำให้ ก็ยินดีรับครับ อิอิ

[หยินหยาง]

โจทย์ข้อ 34 ที่ถูกเป็นแบบนี้ครับ

ให้ $x$ เป็นคำตอบของสมการ $4^x+4^{-x}=7$
จงหาค่าของ $8^x+8^{-x}$

[cenia]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

โจทย์ข้อ 34 ที่ถูกเป็นแบบนี้ครับ

ให้ $x$ เป็นคำตอบของสมการ $4^x+4^{-x}=7$
จงหาค่าของ $8^x+8^{-x}$

ขอบคุณครับ - -*

[math student]

อยากได้แบบพีดีเอฟ
เข้ามาเสียเวลาโหลด

[คusักคณิm]

.PDF

[cenia]

คารวะ ท่าน คนรักคณิต ^^

ขอบคุณที่ช่วยอำนวยความสะดวกแก่ทุกท่าน รวมถึงผมด้วยครับ

[banker]

3.กล่องทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากใบหนึ่ง มีพื้นที่ผิวด้านข้าง ด้านหน้า และ ด้านบนเท่ากับ 12 ตารางนิ้ว 8 ตารางนิ้ว และ 6 ตารางนิ้ว ตามลำดับ ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมุมฉากใบนี้เท่ากับกี่ลูกบาศก์นิ้ว

ให้กล่องมีความกว้าง ยาว สูง $ = x, y, z $

$xy = 6$ ........(1)
$yz = 12$ ........(2)
$zx = 8$ ........(3)

(1)(2)(3) $ \ \ \ \ (xyz)^2 = 6 \cdot 12 \cdot 8 $

$ \ \ \ \ xyz = 24 $


ปริมาตร $ = 24$ ลูกบาศก์นิ้ว