ผมมีข้อสงสัยเกี่ยวกับ FE มาถามครับ

[RoSe-JoKer]

Does there exist $f:N\rightarrow N$ such that
$f(f(n))=n+2[\frac{n}{2}]+1$ for all $n\leqslant 2006$

[Spotanus]

ตอบช้าไป(หน่อย) คงจะไม่ว่ากันนะครับ (เผอิญพึ่งเห็น ว่ากำลังโดนปล่อยตก เลยยื้อขึ้นมา)

ฟังก์ชันที่ว่า "มี" อยู่แล้วครับ
เพราะว่าเงื่อนไขกำหนดบังคับเฉพาะเซตย่อยของโดเมนเท่านั้น (กล่าวคือ $\{1,2,3,...,2006\}$)
ถ้ามองในมุมคนทำละก็ จะง่ายมากเลยทีเดียว
ผมจะนิยามฟังก์ชันยังงี้ครับ
$$ f\left(n \right) = \cases{n+2006 & , 1 \leq n \leq 2006 \cr n+2[\frac{n}{2}]-5011 & , 2006 < n \leq 5012 \cr n & , 5012 < n} $$
ก็จบเลยครับ
(หมายเหตุ : กรณีสุดท้าย กำหนดมาเพื่อให้ฟังก์ชัน well-defined ไม่มีผลต่อเงื่อนไขในโจทย์)

.............................

ผมจะฝากสักข้อไปให้คุณ RoSe-JoKer คิดเล่นละกันครับ

Does there exist $f:N\rightarrow N$ such that
$f(f(p))$ is a composite number for all prime $p$,
$f(n)$ is a prime number for all composite $n$ and
$f(1)=1$.

(คำตอบคือ มี นะครับ)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

Does there exist $f:N\rightarrow N$ such that
$f(f(p))$ is a composite number for all prime $p$,
$f(n)$ is a prime number for all composite $n$ and
$f(1)=1$.

พิมพ์โจทย์ผิดหรือเปล่าครับ

สมมติว่ามีจำนวนเฉพาะ $p$ ที่ทำให้ $f(p)$ เป็นจำนวนประกอบ

จะได้ว่า $f(f(p))$ เป็นจำนวนเฉพาะซึ่งขัดแย้ง

ดังนั้น $f(p)=1$ หรือ เป็นจำนวนเฉพาะ ทุกจำนวนเฉพาะ $p$

แต่ถ้า $f(p)=1$ จะได้ $f(f(p))=f(1)=1$ ซึ่งขัดแย้ง

ถ้า $f(p)$ เป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ $f(f(p))=1$ หรือ เป็นจำนวนเฉพาะซึ่งก็ขัดแย้งอีกเช่นกัน

ดังนั้นไม่มีฟังก์ชันที่สอดคล้องคุณสมบัติดังกล่าว

[Spotanus]

อันที่จริง ผมก็ไม่ได้พิมพ์ผิดหรอกครับ ผมก็คิดอย่างที่พี่ nooonuii คิด
แต่ตอนพิมพ์อาจจะเบลอไปหน่อยตรงที่บอกว่า มี อะครับ
สรุปก็คือ ไม่มี นั่นแหละ ครับผม

[วะฮ่ะฮ่ะฮ่า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

Prove that there doesn't exist $f:N\rightarrow N$ such that
$f(f(n))=n+2[\frac{n}{2}]+1$ for all $n\leqslant 2006$

ผมตรวจแล้วมันมีคำตอบนะครับ คุณRsoe-joker อย่ามั่วดิคัรบ

[nongtum]

#5
แล้วคำตอบคืออะไรครับ ช่วยยกตัวอย่างหน่อย อยากเห็นจัง