ช่วยแนะวิธีคิดเกี่ยวกับสมการฟังก์ชั่น

[หยินหยาง]

ช่วยแนะวิธีคิดให้หน่อยครับ
จงหา $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} $ ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
$(x+y)(f(x)-f(y)) = f(x^2)-f(y^2)$ ทุก$x, y \in \mathbf{R} $

[M@gpie]

แทนค่า $y$ สองค่าที่แตกต่างกัน เราจะแก้หา $f(x)$ ได้ครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

แทนค่า $y$ สองค่าที่แตกต่างกัน เราจะแก้หา $f(x)$ ได้ครับ

ช่วยทำให้ดูหน่อยได้ไหมครับ

[M@gpie]

แทนค่า $y=0$ จะได้ $x(f(x)-f(0))=f(x^2)-f(0)$
แทนค่า $y=1$ จะได้ $(x+1)(f(x)-f(1))=f(x^2)-f(1)$
จับสองสมการลบกันจะหา $f(x)$ได้ครับ แล้วก็เอาไปตรวจสอบ

[nooonuii]

โจทย์สมการเชิงฟังก์ชันความยากจะขึ้นกับการแทนค่าครับ การแืทนค่าต่อไปนี้ควรทำทุกครั้งที่ทำโจทย์

$x,y=0,1,-1$

$x=ky, k\in\mathbb{Z}$

ถ้าแทนค่าเหล่านี้แล้วยังแก้โจทย์ออกมาไม่ได้ แสดงว่าโจทย์น่าจะยากแล้วครับ
อาจจะต้องใช้ความรู้อย่างอื่นมาช่วยด้วย หรือบางทีก็ใช้การแืทนค่าอย่างอื่นซึ่งขึ้นอยู่กับโจทย์แล้วล่ะครับ

ข้อนี้ใช้วิธีที่ผมบอกได้ครับ

[M@gpie]

มาสนับสนุนคำตอบของพี่ Noonuii ครับถ้าแทนค่าเหล่านี้แล้วไม่ออก คือยากแล้ว เพราะไม่รู้ว่าจะไปต่อยังไงดี ฮ่าฮ่า

[หยินหยาง]

ขอบคุณ คุณ M@gpie และคุณ nooonuii มากครับที่ช่วยชี้แนะ คำตอบที่ได้ใช่เป็น
$f(x) =xf(1)-(x-1)f(0)$ หรือ เปล่าครับ ถ้าใช่ โดยปกติเราสามารถตอบติดค่าของ $f(1), f(0) $ ใช่มั้ยครับ จริงๆ แล้วผมก็ใช่แบบที่
คุณ nooonuii แนะนำครับ แต่ติดค่าของ $f(1), f(0) $ นึกว่าตอบติดค่าเหล่านี้ไม่ได้ ยังไงช่วยบอกทีด้วยครับ
หรือต้องไปแทนค่า $f(1), f(0) $ในสมการอีกที เพื่อให้จัดอยู่ในรูปทั่วไป ซึ่งจะได้เป็น $f(x) =ax+c$ ใช่มั้ยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ขอบคุณ คุณ M@gpie และคุณ nooonuii มากครับที่ช่วยชี้แนะ คำตอบที่ได้ใช่เป็น
$f(x) =xf(1)-(x-1)f(0)$ หรือ เปล่าครับ ถ้าใช่ โดยปกติเราสามารถตอบติดค่าของ $f(1), f(0) $ ใช่มั้ยครับ จริงๆ แล้วผมก็ใช่แบบที่
คุณ nooonuii แนะนำครับ แต่ติดค่าของ $f(1), f(0) $ นึกว่าตอบติดค่าเหล่านี้ไม่ได้ ยังไงช่วยบอกทีด้วยครับ
หรือต้องไปแทนค่า $f(1), f(0) $ในสมการอีกที เพื่อให้จัดอยู่ในรูปทั่วไป ซึ่งจะได้เป็น $f(x) =ax+c$ ใช่มั้ยครับ

ติดได้ครับ เำพราะคำตอบอยู่ในรูปสมการเชิงเส้น มันต้องมีค่าคงที่ติดอยู่สองค่าอยู่แล้ว สมการเชิงเส้นเขียนให้อยู่ในรูป $$f(x)=[f(1)-f(0)]x+f(0)$$ ได้เสมอ

แต่เมื่อได้คำตอบแล้วต้องแทนค่ากลับไปในโจทย์ทุกครั้งครับ
เน้นว่าทุกครั้งเำพราะว่าคำตอบที่เราได้มาสอดคล้องเงื่อนไขเฉพาะที่เราสมมติขึ้นมาเท่านั้น
ในขณะที่คำตอบที่โจทย์ต้องการจะต้องเป็นจริงในทุกตัวแปรโดยปราศจากเงื่อนไขบนตัวแปรเหล่านั้น

อย่างข้อนี้คำตอบที่เราได้มาเป็นคำตอบที่ได้มาภายใต้เงื่อนไขที่ว่า $y=0,1$
ซึ่งไม่ได้บอกว่าคำตอบเหล่านี้จะเป็นคำตอบสำหรับกรณีที่ $y\neq 0,1$ ด้วย

[หยินหยาง]

ขอบคุณ คุณ nooonuii ครับ แจ่มชัดเลยครับ

[M@gpie]

ตอนเอาไปตรวจกับโจทย์ครับ เผื่อว่าจะได้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับค่าคงที่ที่เราได้มา
เป็นเรื่องยากเหมือนกันครับว่าจะติดค่าคงที่หรือไม่ติด ถ้าหาค่าคงที่ที่ติดไว้ได้ก็ควรจะหาด้วยนะครับ ขึ้นกับโจทย์ โจทย์เรื่องนี้ยากเลยทีเดียว เรียกได้ว่า ไร้แนวมากที่สุด

[หยินหยาง]

ขอบคุณ คุณ M@gpie อีกครั้งที่ชี้้แนะครับ

[CmKaN]

ให้ $f:N\rightarrow N$ เป็นฟังก์ชันซึ่ง $f(1)=6$ และสอดคล้องกับสมการ
$$\frac{1}{f(1)}+\frac{2}{f(2)}+...+\frac{n}{f(n)}=\frac{2n+1}{f(n)f(n+1)}$$
จงหาสูตรของ $f(n)$ เมื่อ $n\geq 1$

Hint

แทนค่าสังเกต

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN

ให้ $f:N\rightarrow N$ เป็นฟังก์ชันซึ่ง $f(1)=6$ และสอดคล้องกับสมการ
$$\frac{1}{f(1)}+\frac{2}{f(2)}+...+\frac{n}{f(n)}=\frac{2n+1}{f(n)f(n+1)}$$
จงหาสูตรของ $f(n)$ เมื่อ $n\geq 1$

ไม่ทราบว่าโจทย์ผิดหรือเปล่าครับ ที่ถูกน่าจะเป็น $f:N\rightarrow Q^+$ แล้วจะได้คำตอบเป็น $f(n) = \frac{6}{n}$

[murderer@IPST]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

โจทย์สมการเชิงฟังก์ชันความยากจะขึ้นกับการแทนค่าครับ การแืทนค่าต่อไปนี้ควรทำทุกครั้งที่ทำโจทย์

$x,y=0,1,-1$

$x=ky, k\in\mathbb{Z}$

ถ้าแทนค่าเหล่านี้แล้วยังแก้โจทย์ออกมาไม่ได้ แสดงว่าโจทย์น่าจะยากแล้วครับ
อาจจะต้องใช้ความรู้อย่างอื่นมาช่วยด้วย หรือบางทีก็ใช้การแืทนค่าอย่างอื่นซึ่งขึ้นอยู่กับโจทย์แล้วล่ะครับ

ข้อนี้ใช้วิธีที่ผมบอกได้ครับ

เทคนิคของโจทย์ฟังก์ชันนอกจากการแทนค่าแล้วก็ยังมีพวกการใช้สมบัติต่างๆของฟังก์ชันครับ เช่น ความเป็น1-1,ความทั่วถึง และถ้าเป็นสมการฟังก์ชันบนจำนวนเต็มก็ยังสามารถใช้การอุปนัยได้ด้วยน่ะครับ

แต่ผมก็ไม่รู้เหมือนกันว่าจะหาอ่านแบบเต็มๆได้ที่ไหนน่ะครับ - -*
แต่ถ้าเข้าค่ายสสวท.ล่ะก็ได้เรียนแน่ครับ

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ไม่ทราบว่าโจทย์ผิดหรือเปล่าครับ ที่ถูกน่าจะเป็น $f:N\rightarrow Q^+$ แล้วจะได้คำตอบเป็น $f(n) = \frac{6}{n}$

f:N->R+ ครับ Shortlist 4th TMO...