มีโจทย์มาอีกข้อครับ (น้ำในทรงกระบอกนอน)

[jom-yud]

14. ถ้ามีทรงกระบอกแบ่งได้เป็น4ส่วนมีน้ำอยู่3/4ถามว่าเมื่อตะแครงกระบอกในแนวนอนจะมีน้ำอยู่ในช่วงไหน
ก. ช่วง 2 ส่วน
ข. ช่วง 3 ส่วน
ค. ระหว่างช่วง 2 กับ 3 ส่วน
ง. ระหว่างช่วง 3 กับ 4 ส่วน

[banker]

ถ้าเอาแบบวิชาการ แสดงวิธีทำ ก็คงต้องอินทิเกรด ใช้สมการวงกลม แบบเดียวกับถังน้ำมันที่วางแนวนอน

แต่ถ้าให้เลือก มี choice ให้เลือก เราก็ใช้วิธีตัดตัวเลือก



โดยสามัญสำนึก (อาจไม่ถูกก็ได้) ถ้ามีน้ำครึ่งกระบอก ถ้าเราเอาวางแนวนอน มันก็น่าจะมีครึ่งคือ ครึ่งวงกลม

ปริมาตรช่วงที่ 3 มากว่าปริมาตรช่วงที่ 4

ดังนั้น น้ำ 3/4 ของกระบอก น้ำจึงน่าจะอยู่ในช่วงที่ 3

คือระหว่าง 1/2 กับ 3/4 ของเส้นผ่าศูนย์กลาง ตามรูป

ส่วนใน choice ไม่เข้าใจคำพูดของโจทย์

[แม่ให้บุญมา]

น่าจะตอบข้อ ง นะครับ เพราะ พื้นที่เฉพาะส่วนที่ 4 > 1/4 ของพื้นที่วงกลม
ดังนั้นพื้นที่ ส่วนที่ 1+2+3 จึงน้อยกว่า 3/4 ของพื้นที่วงกลม ระดับของเหลวจึงต้องสูงเกินเข้าไปในส่วนที่ 4 เล็กน้อย

ให้รัศมีวงกลมยาว 2 หน่วย พท วงกลม= 4pi
ลองคำนวณ พื้นที่เต็มส่วนที่ 4 ได้
= พื้นที่ sector ที่ทำมุม 120องศา กับศุนย์กลาง - พื้้นที่ สามเหลี่ยม 1/2 xกว้าง 2*sqrt(3)/2 x สูง 1
= 1/3 พท ของวงกลม - sqrt(3)/pi
พื้นที่เต็มส่วนที่ 4/พื้นที่วงกลม = 1/3 -(1/8) x sqrt(3)/pi=(8- 3 sqrt(3)/pi)/24 =(8 -3x1.73/3.14)/24 >(8-2)/24
ดังนั้น พื้นที่เต็มส่วนที่ 4/พื้นที่วงกลม>1/4

[แม่ให้บุญมา]

ดูตามรูป และคำอธิบาย คุณ Banker น่าจะถูกนะ
ส่วนที่ 4 น่าจะเนื้อที่ < 1/4 ของวงกลม ทำไมผมคำนวณได้ = 0.2644 >1/4
ใครช่วยตรวจดูทีีครับ ผมคำนวณผิดตรงไหน

[กิตติ]

สมมุติให้ทรงกระบอกสูง$h$ วงกลมรัศมี$r$
ปริมตร$\frac{3}{4} $ เท่ากับ$\frac{3}{4}\pi r^2h = \pi r^2\times (\frac{3}{4}h)$
การวางทรงกระบอกลงก็เหมือนการย้าย$\frac{3}{4}$ เข้าไปหารัศมี$r$
จะได้ว่า$\frac{3}{4}\pi r^2h =\pi h(\frac{\sqrt{3}}{2}r)^2$
ดังนั้นความสูงของน้ำเท่ากับ$\frac{\sqrt{3}}{2} r \approx 0.866 r$
จึงสูงกว่า$\frac{3}{4} $
ผมตอบ ง.เหมือนกัน

[แม่ให้บุญมา]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แม่ให้บุญมา

น่าจะตอบข้อ ง นะครับ เพราะ พื้นที่เฉพาะส่วนที่ 4 > 1/4 ของพื้นที่วงกลม
ดังนั้นพื้นที่ ส่วนที่ 1+2+3 จึงน้อยกว่า 3/4 ของพื้นที่วงกลม ระดับของเหลวจึงต้องสูงเกินเข้าไปในส่วนที่ 4 เล็กน้อย

ให้รัศมีวงกลมยาว 2 หน่วย พท วงกลม= 4pi
ลองคำนวณ พื้นที่เต็มส่วนที่ 4 ได้
= พื้นที่ sector ที่ทำมุม 120องศา กับศุนย์กลาง - พื้้นที่ สามเหลี่ยม 1/2 xกว้าง 2*sqrt(3)/2 x สูง 1
= 1/3 พท ของวงกลม - sqrt(3)/pi
พื้นที่เต็มส่วนที่ 4/พื้นที่วงกลม = 1/3 -(1/8) x sqrt(3)/pi=(8- 3 sqrt(3)/pi)/24 =(8 -3x1.73/3.14)/24 >(8-2)/24
ดังนั้น พื้นที่เต็มส่วนที่ 4/พื้นที่วงกลม>1/4

รู้แล้วผิดตรงความกว้างของสามเหลี่ยม ต้องเป็น $ 2 \sqrt{3} $ ผิดไปสองเท่า
ดังนั้น $ \frac{ พื้นที่ส่วนที่ 4 }{ พื้นที่วงกลม } = \frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4 \pi}$
$\approx \frac{1}{3} -\frac{1}{8}$
$\approx \frac{5}{24}$
$ < \frac{1}{4} $

ดังนั้น ข้อ ค ถูกต้องตามที่คุณ Banker ให้คำตอบไว้

ถ้าจะหาต่อว่า ว่ามุม$ \theta$ ที่ sector ทำกับจุดศูนย์กลางเป็นเท่าใด จึงจะได้เส้นคอร์ดที่แสดงระดับผิวน้ำสีเหลืองพอดี ซึ่งต้องมากกว่า $120^\circ$ หรือ $\frac{2\pi}{3}$ คำนวณจากสมการ ข้างล่างนี้
$\frac{1}{4} = \frac{\theta}{2 \pi} - \frac{sin \theta}{2 \pi} $

[กิตติ]

ข้อนี้ไม่น่าคิดแบบพื้นๆอย่างที่ผมทำ เพราะพื้นที่วงกลมที่ความสูงระดับต่างๆคงไม่ได้คิดง่ายๆแบบลดขนาดรัศมี
คงต้องคิดแบบที่คุณแม่ให้บุญมาคิด
ที่แน่ๆว่าถ้ามีปริมาตรครึ่งเดียว เมื่อวางทรงกระบอกลงนอนความสูงก็เท่ากับครึ่งหนึ่ง
แต่ถ้าเป็นสามในสี่ น่าจะใช้การอินทิเรตอย่างที่ลุงBankerเปรยๆไว้แล้วมั้งครับ
ดังนั้นเหนือระดับครึ่งวงกลมไปอีกเท่าไหร่ถึงจะมีปริมาตรตามที่ถาม เหลือปริมาตรเท่ากับ$\frac{3}{4}-\frac{1}{2} =\frac{1}{4} $ เนื่องจากวงกลมเป็นรูปสมมาตร ผมคิดง่ายๆตามรูปที่แนบว่าหาความสูงจากระดับกึ่งกลางที่ทำให้พื้นที่วงกลมครึ่งวงนี้มีพื้นที่เท่ากันคือ $\frac{1}{4} $ของวงกลม
หาความสูง $h$ ที่ทำให้พื้นที่สีเหลืองเท่ากับสีเขียว
ผมยังคิดออกได้เท่านี้ครับ ยังตันอยู่เท่านี้ครับ

[แม่ให้บุญมา]

ไม่ต้องอินทีเกรดหรอกครับ ใช้เรขาคณิตธรรมดา แต่อาศัยหลักการประมาณช่วยก็หาได้เช่นกัน
ตามรูปข้างท้ายนี้ C เป็นจุดศูนย์กลางวงกลม ให้รัศมีเท่ากับ 2 หน่วย
เอาพื้นที่ sector CAB ลบกับพื้นที่สามเหลี่ยม CAB จะเหลือเฉพาะพื้นที่ที่สนใจซึ่งให้เท่ากับ $\frac{1}{4}$ ของ พื้นที่วงกลม
คิดออกมาได้ตามสมการที่ผมแสดงไว้ก่อนหน้านี้ ซึ่งทำให้เป็นรูปง่ายได้ต่อไปเป็น
$\theta -\frac{ \pi }{2} - sin \theta =0 $
ให้ $\theta = \frac{2 \pi}{3} + \delta$ จะได้
$\theta -\frac{ \pi }{2} - sin \theta =0 $
$ 0=\frac{2 \pi}{3} + \delta -\frac{ \pi }{2} - sin ( \frac{2 \pi}{3} + \delta)$
$ 0=\frac{2 \pi}{3} + \delta -\frac{ \pi }{2} - [sin ( \frac{2 \pi}{3}) cos \delta + cos ( \frac{2 \pi}{3}) sin \delta)]$

ลองหาค่ามุมโดยประมาณ ถ้า $ \delta$ มีค่าน้อยมาก จะได้ $sin \delta \approx \delta , cos \delta \approx 1 $
แทนค่าลงในสมการได้
$0 \approx \frac{\pi}{6} + \delta -[ \frac{\sqrt{3}}{2}(1) +(-.5) \delta]$
$ \delta \approx \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{9} \approx 0.228 $ หรือ $13.06^\circ $
ได้ มุมของ sector
$\theta = \frac{2 \pi}{3} + \delta$
$\theta \approx 2.094+0.228 $
$\theta \approx 2.322 $ หรือ $ 133^\circ $
ใกล้เคียงกับค่าที่ได้จากการ plot graph ซึ่งได้ $ \theta = 2.31$ หรือ $132.35^\circ$


ดูตามรูปข้างล่างนี้ของคุณ Banker โดยมี C เป็นจุดศูนย์กลาง ซึ่งพื้นที่วงกลมส่วนสีขาว จะเป็น 1/4 ของ พท วงกลม เส้นแบ่งจริงหรือระดับน้ำจะสูงกว่าที่แสดงในรูปนี้
[ มุม $DCE = 120^\circ $, มุม$ ACB= \theta = 132.25^\circ $
พท สามเหลี่ยม AฺฺิBC = 2(พท สามเหลี่ยม AFC)$= (2sin \frac{\theta}{2})( 2cos \frac{\theta}{2})= 2sin \theta $

[iMsOJ2i2y]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jom-yud

14. ถ้ามีทรงกระบอกแบ่งได้เป็น4ส่วนมีน้ำอยู่3/4ถามว่าเมื่อตะแครงกระบอกในแนวนอนจะมีน้ำอยู่ในช่วงไหน
ก. ช่วง 2 ส่วน
ข. ช่วง 3 ส่วน
ค. ระหว่างช่วง 2 กับ 3 ส่วน
ง. ระหว่างช่วง 3 กับ 4 ส่วน

โจทย์ข้อนี้อยู่ในหนังสือเรียนของ สสวท ครับ ม.3 เล่ม 1

ปล . พึ่งรู้ว่าหนังสือของ สสวท มีข้อยากๆอยู่ด้วย

[แม่ให้บุญมา]

อย่างนี้ก็น่าจะมีเฉลยในคู่มือของครูนะซิ ใครหาได้ลองเอามาเปรียบเทียบวิธีการดูหน่อย

[กิตติ]

ผมไปเดินดูหนังสือที่เขาเฉลย
เล่มหนึ่งบอกว่า ปริมาตรเท่าเดิม เอียงนอนแล้วความสูงก็ต้อง สามในสี่เหมือนกัน
อีกเล่มบอกว่าอยู่ระดับ2กับ3 เขาอธิบายว่าปริมาตรระดับ2กับ3นั้นมากกว่าหนึ่งในสี่
ผมอ่านแล้วก็อึ่ง เพราะไม่มีการคำนวณใดๆเลย

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ผมไปเดินดูหนังสือที่เขาเฉลย
เล่มหนึ่งบอกว่า ปริมาตรเท่าเดิม เอียงนอนแล้วความสูงก็ต้อง สามในสี่เหมือนกัน
อีกเล่มบอกว่าอยู่ระดับ2กับ3 เขาอธิบายว่าปริมาตรระดับ2กับ3นั้นมากกว่าหนึ่งในสี่
ผมอ่านแล้วก็อึ่ง เพราะไม่มีการคำนวณใดๆเลย

ข้อนี้ไม่จำเป็นต้องคำนวณก็ได้ครับ คำถามลักษณะนี้มักจะมีท้ายบทในหนังสือของ สสวท. เป็นคำถามปลายเปิด จุดประสงค์ก็มีไว้เพื่อให้ฝึกการคิดวิเคราะห์ โดยส่วนใหญ่จะเน้นเรื่องการสังเกต หรือมักจะเป็นเรื่องที่จะเชื่อมต่อในบทต่อไป ลองดูวิธีคิดแบบข้างล่างดูครับเป็นของ สสวท.

[nooonuii]

ผมคิดได้ว่า ระดับน้ำจะอยู่ที่ประมาณ $1.4$ เท่าของรัศมี วัดจากพื้น

ซึ่งจะไปตกในส่วนที่ $3$ ตามรูปของคุณ หยินหยาง ครับ

การคำนวณทำคล้ายๆของคุณ แม่ให้บุญมา แต่แก้สมการหาค่าที่แท้จริงไม่ได้

[แม่ให้บุญมา]

คำตอบของผมตรงกับของคุณ nooonuii แสดงว่าที่ผมคำนวณไว้น่าถูกต้อง เพราะถ้าให้รัศมียาว R หน่วย
ระดับน้ำจะอยู่เกินจุดศูนย์กลางขึ้นไปรวม
$= R + FC =R + R \cos \frac {\theta}{2} \qquad $ จากสามเหลี่ยม AFC
$= R +R \cos(66.17 ^\circ) $
$= R + 0.404 R = 1.404R$