ฟังก์ชันเชิงซ้อนเชิงเรขาคณิต

[sompong2479]

มีโจทย์ข้อนึงครับ



ช่วยทำด้วยครับ

[nooonuii]

Note that \( \displaystyle{ |f(z)|\leq \sqrt{2}R^2} \ \) for all $z$ such that $R < |z| < 2R$. Let

\(\displaystyle{ f(z) = \sum_{n=0}^{ \infty} a_n z^n } \). Let $R>0$ be given. Define a rectifiable curve

\(\displaystyle { \gamma (t) = \frac{3R}{2}e^{it}, 0\leq t \leq 2\pi } \)

Then, using Cauchy's Integral Formula, we get

\( \displaystyle{ |a_n|\leq \sqrt{2}R^2(\frac{2}{3R})^n } \)

Letting \( R\rightarrow \infty , \ \) we have $a_n = 0$ for all $n>2$.
Thus $f$ is a polynomial of degree at most two.

[sompong2479]

ขอบคุณมากครับคุณ nooonuii เอแต่เท่าที่ดูวิธีทำแล้วไม่ได้ใช้ตรงที่โดเมนเป็นรูปวงแหวนเลยนี่ครับ
แปลกจัง

[nooonuii]

ผมว่าวงแหวนเป็นตัวหลอกน่ะครับ จริงๆแล้วเราสามารถสรุปได้ว่า

\( \displaystyle{ |f(z)| \leq \sqrt{2}R^2} \ \) for all $z$ such that $|z| \leq r $ where $R< r < 2R$

โดย Maximum Modulus Principle ครับ