โจทย์จาก Vasc

[No.Name]

เป็นข้อ 3 ของ Vasc Warm up problems set

3.Let a,b,c are positive number such that abc=1.Prove that

$$\displaystyle\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[5]{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$$

ผมไม่รู้วาถูกไหมนะครับช่วยเช็คที

My unsure solution

$a^2+b^2+c^2\ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

$\ge3$

ดังนั้นเราต้องแสดงว่า $\displaystyle(\frac{a+b+c}{3})^5\ge 1$

ซึ่งเป็นจริงโดย $A.M.-G.M$

ถ้าอยากได้เพิ่มก็บอกนะครับ

[LightLucifer]

ไม่ถูกครับ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ไม่ถูกครับ

ช่วยเขียนให้ดูหน่อยได้ไหมครับงั้น ช่วยลองดูอีกข้อครับ

8.If a,b,c,d are non-negative number.Prove that

$$\displaystyle\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}\ge0$$

hide

โดย $Cauchy-Schwarz~ inequality$ ใน $Angel~ Form$

$\displaystyle\frac{a}{a+2b+c}+\frac{b}{b+2c+d}+\frac{c}{c+2d+a}+\frac{d}{d+2a+b}\ge \frac{(a+b+c+d)^2}{(a+b+c+d)^2}\ge 1$

$\displaystyle\frac{b}{a+2b+c}+\frac{c}{b+2c+d}+\frac{d}{c+2d+a}+\frac{a}{d+2a+b}\ge 1$

$\displaystyle\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}\ge0$

[LightLucifer]

เรามี $(\frac{a+b+c}{3})^5 \ge 1$ อยู่ก็จริง
แล้วเราจะรู้ได้อย่างไรว่า $(\frac{a+b+c}{3})^5 \ge \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$ ครับ

[Keehlzver]

ลำพังการจะพิสูจน์ว่า $a \geq b$ แต่รู้ว่า $a \geq c$ ไม่สามารถสรุปได้ว่า $a \geq b$ ครับ
อันนี้เป็นวิธีของผมนะครับ

Nomalize จาก abc=1 อสมการโจทย์สมมูลกับ

\[\begin{array}{cl}
& (a+b+c)^5-81abc(a^2+b^2+c^2) \\
& =(a+b+c)^5-81abc((a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)) \\
& =(a+b+c)^2((a+b+c)^3-27abc)-54abc((a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)) \\
& =[(a+b+c)^2(a+b+7c)-54abc](a-b)^2+[(a+b+c)^2(4a+4b+c)-54abc](a-c)(b-c) \\
& =M(a-b)^2+N(a-c)(b-c)

\end{array} \]

สมมุติโดยไม่เสียนัย $max(a,b,c)=c$
การพิสูจน์ว่า $M,N \geq 0$
จะได้ว่า
\[\begin{array}{cl}
& (a+b+c)^2(a+b+7c) \\
& \geq (a+b+c)^2(2a+2b+2c) \\
& =2(a+b+c)^3 \\
& \geq 54abc \\

\end{array} \]
จริงโดย AM-GM ดังนั้น $M \geq 0$


\[\begin{array}{cl}
& (a+b+c)^2(4a+4b+c)-54abc \\
& =(a+b+c)^3-27abc+(a+b+c)^2(3a+3b)-27abc \\
& \geq (a+b+c)^3-27abc+6c(a-b)^2+3a(b-c)^2 \\
& \geq 0

\end{array} \]
ดังนั้น $N \geq 0$

จบการพิสูจน์ครับ

[ShaDoW MaTH]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ลำพังการจะพิสูจน์ว่า $a \geq b$ แต่รู้ว่า $a \geq c$ ไม่สามารถสรุปได้ว่า $a \geq b$ ครับ
อันนี้เป็นวิธีของผมนะครับ

Nomalize จาก abc=1 อสมการโจทย์สมมูลกับ


$(a+b+c)^5-81abc(a^2+b^2+c^2) $
$=(a+b+c)^5-81abc((a+b+c)^2-2(ab+bc+ca))$
$=(a+b+c)^2((a+b+c)^3-27abc)-54abc((a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)) $
=$[(a+b+c)^2(a+b+7c)-54abc](a-b)^2+[(a+b+c)^2(4a+4b+c)-54abc](a-c)(b-c)$
$=M(a-b)^2+N(a-c)(b-c)$

ตรงนี้จัดรูปอย่างไรหรอครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

ช่วยเขียนให้ดูหน่อยได้ไหมครับงั้น ช่วยลองดูอีกข้อครับ

โดย $Cauchy-Schwarz~ inequality$ ใน $Angel~ Form$

$\displaystyle\frac{a}{a+2b+c}+\frac{b}{b+2c+d}+\frac{c}{c+2d+a}+\frac{d}{d+2a+b}\ge \frac{(a+b+c+d)^2}{(a+b+c+d)^2}\ge 1$

$\displaystyle\frac{b}{a+2b+c}+\frac{c}{b+2c+d}+\frac{d}{c+2d+a}+\frac{a}{d+2a+b}\ge 1$

$\displaystyle\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}\ge0$

เอามาลบกัน ไม่ได้ครับ
ส่วน Cauchy นี่ คูณตัวมันเองทั้งเศาเเละส่วนปะครับ ตอนเเรกไม่เข้าใจ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

เอามาลบกัน ไม่ได้ครับ
ส่วน Cauchy นี่ คูณตัวมันเองทั้งเศาเเละส่วนปะครับ ตอนเเรกไม่เข้าใจ

ทำไมถึงเอามาลบกันไม่ได้หรอครับ

[จูกัดเหลียง]

ก็ถ้านำมาลบกัน ตัวล่างมันต้องกลับข้างด้วยอ่ะครับ
ถ้าจะใช้โคชี ลอง

เเบบนี้

$$\sum_{cyc} {\frac{(\sqrt{a^2-ab})^2}{a^2+2ab+ac}} \ge \frac{(\sum_{cyc} \sqrt{a^2-ab})^2}{(\sum_{cyc} a)^2} \ge \frac{\sum_{cyc} a^2-ab}{(\sum_{cyc} a)^2} \ge 0$$

ปล. สงสัยอีกนิดนึงตรง บรรทัด 2 ใน #3 ตรง Hide อ่ะครับ มายังไง
คือ ผมพึ่งมาดูใหม่เเล้วคิดว่ามันผิด อ่ะครับ ต้องขอโทษด้วย

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ก็ถ้านำมาลบกัน ตัวล่างมันต้องกลับข้างด้วยอ่ะครับ
ถ้าจะใช้โคชี ลอง

เเบบนี้

$$\sum_{cyc} {\frac{(\sqrt{a^2-ab})^2}{a^2+2ab+ac}} \ge \frac{(\sum_{cyc} \sqrt{a^2-ab})^2}{(\sum_{cyc} a)^2} \ge \frac{\sum_{cyc} a^2-ab}{(\sum_{cyc} a)^2} \ge 0$$

ปล. สงสัยอีกนิดนึงตรง บรรทัด 2 ใน #3 ตรง Hide อ่ะครับ มายังไง

อ้อ ขอบคุณมากๆครับ

แล้วเราสามารตัด $\sum_{cyc}{2\sqrt{a^2-ab}\sqrt{b^2-bc}}$ ได้เลยหรอครับ

ส่วนตรงบรรทัด 2 ขอโทษครับผิดพลาด(เยอะเลย)

(เด็กสมัยนี้เก่งกันจัง)

[จูกัดเหลียง]

ก็มัน มากกว่าหรือเท่ากับ 0 นี่ครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ก็มัน มากกว่าหรือเท่ากับ 0 นี่ครับ

#10
แน่ใจเหรอครับ ??

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

#10
แน่ใจเหรอครับ ??

จริงๆ ผมว่ามันก็ผิดเเหละครับ 555+
ต้อง ขออภัยมา ณ ที่นี้ด้วย

[Amankris]

#5
Obvious หรือเปล่าครับ

[Keehlzver]

คุณ Light พิมพ์ผิดครับ กลับไปดูใหม่นะครับ เพราะคนอื่นเข้ามาอ่านเดี๋ยวจะหมดศรัทธาพวก SOS ซะก่อน

คุณ SHADOW MATH มันคือ SOS Schur ซ้อนกันครับ ต้องจัดรูปกับ $(a+b+c)^3-27abc$ ให้อยู่ในรูป $M(a-b)^2+N(a-c)(b-c)$ ให้ได้ครับ ลองไปทำดูนะครับ ถ้าไม่ได้ยังไงผมจะเขียนรายการเอกลักษณ์ให้ครับ

ส่วนคุณ Amankris ผมไม่เข้าใจคุณครับ