Perfect square

[Mol3ius]

ให้ n,p เป็นจำนวนเต็ม และ n > 1 และ p เป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า n$\mid$p-1 และ p$\mid$ $n^3$ -1 จงแสดงว่า 4p-3 เป็นจำนวนกำลังสอง

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mol3ius

ให้ n,p เป็นจำนวนเต็ม และ n > 1 และ p เป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า n$\mid$p-1 และ p$\mid$ $n^3$ -1 จงแสดงว่า 4p-3 เป็นจำนวนกำลังสอง

ไม่ได้ทำนานขัดสนิมสักหน่อย 555+

$p|(n-1)(n^2+n+1)$
สังเกตุว่า
$gcd(n-1,n^2+n+1)=gcd(n-1,n^2+n+1-n(n-1))gcd(n-1,2n+1)=gcd(n-1,3)=1,3$

CaseI
$gcd(n-1,n^2+n+1)=1$
ถ้า $p|n-1$
จะได้ว่า $n \ge p+1$ แต่จาก $n|p-1$ จะได้ว่า $p+1 \ge n+2$
เกิดข้อขัดแย้ง
ดังนั้น $p|n^2+n+1$
จาก $n|p-1$ จะได้ว่ามี $k\in\mathbb{Z^+} $ ซึ่ง $p=kn+1$
จะได้ว่า
$kn+1|n^2+n+1$
$kn+1|n^2-(k-1)n$
แต่ $gcd(kn+1,n)=1$
จะได้ว่า $kn+1|n-k+1$
$kn+1|kn-k^2+k+1-1$
$kn+1|-k^2+k-1$
จะได้ว่า $|-k^2+k-1|=k^2-k+1 \ge kn+1$
$k-1 \ge n \rightarrow k\ge n+1$
จะได้ว่า $p=kn+1 \ge n^2+n+1$
แต่ $p|n^2+n+1$ จะได้ว่า $n^2+n+1 \ge p$
ดังนั้น $p=n^2+n+1$
จะได้ว่า $4p-3=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$

CaseII
$gcd(n-1,n^2+n+1)=3$
ถ้า $p=3$ จะได้ $4p-3=9=3^2$
ถ้า $p\not= 3$ พิสูจน์ในทำนองเดียวกับ CaseI

[LightLucifer]

กรณีที่ p ไม่เป็นจำนวนเฉพาะก็น่าสนใจนะครัย
$p=n^2+n+1$ มันเป็นจริงหมด

[Mol3ius]

ขอบคุณมากครับ