Bertrand's Paradox

[TOP]

Bertrand's Paradox

ลองกลับไปเปิดดูเอกสารเรื่องความน่าจะเป็น(ปกติไม่เคยเปิดอ่านหรอก ) เผื่อจะมีความคิดอะไรแปลกๆ มาแก้ปัญหาได้บ้าง ก็บังเอิญไปเจอปัญหาอันหนึ่งที่คิดว่าน่าสนใจดี ไม่เคยคิดมาก่อนว่ามันจะ ให้ผลลัพธ์ที่น่าสนใจควรค่าแก่การคิดวิเคราะห์ ลองคิดตามไปพร้อมๆกันนะครับ

ภายในวงกลมหนึ่งหน่วย ลากเส้นคอร์ดแบบสุ่มขึ้นมา จงหาความน่าจะเป็นที่ เส้นคอร์ดนี้จะมีความยาว มากกว่า \( \sqrt{3}\ \ \) ?

เพื่อเป็นการสะดวกในการอธิบายต่อๆไป เราจะกำหนดให้วงกลมหนึ่งหน่วย มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด \( (0,0) \)

วิธีแก้ปัญหาแบบที่ ๑
มองว่าเส้นคอร์ดจะตั้งฉากกับเส้นตรงในแนวรัศมีของวงกลม และตัดกันตรงตำแหน่ง กึ่งกลางของเส้นคอร์ด ดังนั้น เราสามารถกำหนดเส้นคอร์ดได้จาก ตำแหน่งจุดกึ่งกลางของเส้นคอร์ด จึงทำการสุ่มพิกัด \( (x,y) \) ขึ้นมาเพื่อเป็นตำแหน่งจุดกึ่งกลางของเส้นคอร์ด เราจะได้ความยาวของเส้นคอร์ดเป็น
\( L = 2 \sqrt{1 - (x^2 + y^2)} \)
จากนั้นทำการ simulation 10,000 รอบ หาค่าความน่าจะเป็น

วิธีแก้ปัญหาแบบที่ ๒
มองเพิ่มเติมว่าการหมุนวงกลม ไม่มีผลให้ความยาวของเส้นคอร์ดเปลี่ยนไป ดังนั้นไม่ว่าเส้นคอร์ดที่ลาก จะเอียงทำมุมเท่าไร เราจะสามารถหมุนวงกลมให้เส้นคอร์ดวางตัวอยู่ในแนวราบได้เสมอ ดังนั้นตำแหน่ง กึ่งกลางของเส้นคอร์ด จะอยู่ในรูป \( (0,y) \) เสมอ เราจึงทำการสุ่มเฉพาะค่าของ \( y \) เท่านั้น จะได้ความยาวของเส้นคอร์ด เป็น
\( L = 2 \sqrt{1 - y^2} \)
จากนั้นทำการ simulation 10,000 รอบ หาค่าความน่าจะเป็น

วิธีแก้ปัญหาแบบที่ ๓
มองว่าการการหมุนวงกลม ไม่มีผลให้ความยาวของเส้นคอร์ดเปลี่ยนไป ดังนั้นไม่ว่าเส้นคอร์ดจะอยู่ตรงไหน เราจะสามารถหมุนวงกลมให้ปลายด้านหนึ่งของเส้นคอร์ดมาอยู่ที่ตำแหน่ง \( (1,0) \) ได้เสมอ ส่วนปลายอีกด้านหนึ่งสามารถกำหนดได้จาก ค่ามุมบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่มันอยู่ (จะมีค่าในช่วง \( [0,2\pi]) \) เราจึงทำการสุ่มค่ามุมนี้ออกมา สมมติว่าสุ่มแล้วได้เป็น \( a \) จะได้ความยาวของเส้นคอร์ดเป็น
\( L = \sqrt{2 - 2 \cos a} \)
จากนั้นทำการ simulation 10,000 รอบ หาค่าความน่าจะเป็น

จะสังเกตได้ว่าผลการทำ simulation ให้ผลออกมาแตกต่างกันทั้ง 3 แบบ ทีนี้คือปัญหาครับ

1. ผลการทำ simulation แต่ละแบบผิดพลาดหรือไม่ ทำไมจึงได้ค่าไม่ตรงกัน (ลองตรวจสอบโดย หาค่าความน่าจะเป็นตามทฤษฎีของ การแก้ปัญหาทั้ง 3 แบบ)
2. วิธีแก้ปัญหาวิธีใดน่าจะเป็นวิธีที่ถูกต้อง

รูปภาพประกอบ วิธีการแก้ปัญหาทั้ง 3 แบบ และผลการทำ simulation คร่าวๆ
(หมายเหตุ: เส้นสีแดงใช้เป็นแสดงช่วงเส้นคอร์ดที่มียาวน้อย และมากกว่า \( \sqrt{3} \))

[Hell]

ไม่เข้าใจวิธีที่ 1 ครับ

คิดว่าที่ถูกต้องน่าจะเป็น อันที่ 2
เพราะสุ่มเอาจากเส้นตรงเลย มีการกระจายการสุ่มมากกว่า

ส่วน 3 ที่ผิดเพราะว่าไม่ได้สุ่มจุดจากเส้นรอบวง แต่ว่าใช้ cos a แทน สังเกตว่าทางซ้ายของรูปจะกระจายๆ ส่วนใหญ่จะไปกระจุกกันทางด้านขวามากกว่า คือความยาวเมื่อเพิ่มขึ้น การเปลี่ยนของขนาดก็จะเปลี่ยนเร็วขึ้น

[TOP]

คิดว่ายังมีหลายๆคนไม่เข้าใจวิธีการแก้ปัญหาแต่ละแบบ จะอธิบายให้ชัดเจนกว่านี้ละกัน

วิธีที่ ๑
วิธีนี้ ก็คล้ายๆกับการลากเส้นคอร์ดแบบมั่วๆของเราไง หลังจากลากเสร็จแล้วก็จะมาวัดดูว่าเส้นคอร์ดของเรา มีความยาวเท่าไร มากกว่า sqrt(3) มั้ย ถ้ามากกว่าก็นับเอาไว้ หลังจากทำไปได้เยอะๆก็จะนำค่าที่นับได้หารด้วยจำนวนครั้งที่ลากเส้นคอร์ด ก็จะเป็นค่าความน่าจะเป็น ออกมา ส่วนรูปที่เห็นนั้นเป็นตอนที่เราสุ่มลากเส้นคอร์ดไปได้เยอะแล้ว จึงเห็นเส้นมันขีดกระจายมั่วๆ ไปทั้งวงกลม

วิธีที่ ๒
วิธีนี้บอกว่า แม้เราจะลากเส้นคอร์ดแบบมั่วๆแบบวิธีที่ ๑ แต่ถ้าพิจารณาการลากเส้นคอร์ดแต่ละเส้นดู จะพบว่าเราสามารถหมุนวงกลม เพื่อให้การวางตัวของเส้นคอร์ด อยู่ในแนวราบได้เสมอ โดยไม่ทำให้ความยาวเส้นอคอร์ดเปลี่ยนไป ดังนั้นหลังจากลากเส้นคอร์ดแบบมั่วๆตามวิธีที่ ๑ แต่ละเส้นเสร็จแล้ว เราก็จะหมุนวงกลมเพื่อให้มันมาวางตัว อยู่ในแนวราบ จากนั้นก็วัดดูว่าเส้นคอร์ดของเรา มีความยาวเท่าไร มากกว่า sqrt(3) มั้ย ถ้ามากกว่าก็นับเอาไว้ หลังจากทำไปได้เยอะๆก็จะนำค่าที่นับได้ หารด้วยจำนวนครั้งที่ลากเส้นคอร์ด ก็จะเป็นค่าความน่าจะเป็นออกมา ส่วนรูปที่เห็นนั้นเป็นตอนที่เรานำเส้นคอร์ดแต่ละเส้นมาวางตัวใน แนวราบแล้ว

วิธีที่ ๓
วิธีนี้บอกว่า แม้เราจะลากเส้นคอร์ดแบบมั่วๆแบบวิธีที่ ๑ แต่ถ้าพิจารณาการลากเส้นคอร์ดแต่ละเส้นดู จะพบว่าเราสามารถหมุนวงกลม เพื่อให้ปลายด้านหนึ่งของเส้นคอร์ดมาอยู่ที่ตำแหน่ง (1,0) ได้เสมอ โดยไม่ทำให้ความยาวเส้นอคอร์ดเปลี่ยนไป (คล้ายๆกับวิธีที่ ๒ เพียงแต่มีการเรียงตัวของเส้นคอร์ด คนละแบบ) ดังนั้นหลังจากลากเส้นคอร์ดแบบมั่วๆตามวิธีที่ ๑ แต่ละเส้นเสร็จแล้ว เราก็จะหมุนวงกลมเพื่อให้ปลายด้านหนึ่งของมันมาอยู่ที่ตำแหน่ง (1,0) ปลายด้านที่เหลือจึงกระจายไปตามตำแหน่งต่างๆของวงกลม จากนั้นก็วัดดูว่าเส้นคอร์ดของเรา มีความยาวเท่าไร มากกว่า sqrt(3) มั้ย ถ้ามากกว่าก็นับเอาไว้ หลังจากทำไปได้เยอะๆก็จะนำค่าที่นับได้ หารด้วยจำนวนครั้งที่ลากเส้นคอร์ด ก็จะเป็นค่าความน่าจะเป็นออกมา ส่วนรูปที่เห็นนั้นเป็นตอนที่เรานำเส้นคอร์ดแต่ละเส้นมาวาง เรียงโดยให้ปลายด้านหนึ่งอยู่ที่ตำแหน่ง (1,0) แล้ว

ผมคิดว่าแบบที่ 1 ถูกที่สุดนะครับ
เพราะแบบที่ 2 และ 3 เนี่ย สุ่มมาไม่ครบ
ไม่แน่ใจว่าเป็นเพราะการถ่วงน้ำหนักรึเปล่า
แบบที่ 2 กับแบบที่ 3 คิดจากความยาวของคอร์ดอย่างเดียว
ทั้ง ๆ ที่ คอร์ดต่างกัน อาจจะมีความยาวเท่ากันก็ได้
เพราะฉะนั้น แบบที่ 2 อาจจะถ่วงน้ำหนักตามรัศมีก็น่าจะได้
แต่ผมก็ไม่ทราบว่าทำไมแบบที่ 2 และ 3 ได้ผลไม่เท่ากัน

ข้อสังเกต ผมคิดว่าถ้าแบบที่ 2 และ 3 ถูกต้องละก็ เราก็ไม่ต้องสุ่มตัวเลขก็ได้ เราสามารถใช้เรขาคณิตแก้ปัญหาข้อนี้ได้เลย

[TOP]

จะแสดง การคำนวณหาค่าความน่าจะเป็นทางทฤษฎี ของวิธีที่ ๑ เพื่อเป็นตัวอย่างสำหรับ วิธีอื่นๆ

เนื่องจาก L = 2*sqrt(1 - (x*x + y*y)) เราต้องการเส้นคอร์ดที่มีความยาวมากกว่า sqrt(3) ดังนั้น
2*sqrt(1 - (x*x + y*y)) > sqrt(3) หรือ sqrt(x*x + y*Y) < 1/2 ซึ่งก็คือ (x,y) ในบริเวณที่เป็นพื้นที่ของวงกลม ที่มีรัศมี 1/2
เนื่องจาก ค่า (x,y) ที่เป็นไปได้ทั้งหมดใน sample space ของเราอยู่ในบริเวณที่เป็นพื้นที่ของวงกลม ที่มีรัศมี 1
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่เส้นคอร์ดของเราจะมีความยาวมากกว่า sqrt(3) จึงเป็นอัตราส่วนของพื้นที่ทั้งสอง คิดเป็น
( pi*(0.5*0.5) ) / ( pi*(1*1)) = 1/4 = 0.25

ทีนี้ค่าความน่าจะเป็นทางทฤษฎีของ วิธีที่ ๒ และ ๓ ละครับ จริงๆแล้วคือเท่าไร ?

ผมงงในวิธีที่คุณบอก และสงสัยว่าทำไมได้ค่าprobน้อยจัง

[HP]

ขอลอง test ก่อนนะ

[HP]

ขอลองตอบแบบที่ 2 ละกันนะ
ก่อนอื่นก็ กำหนดสัญลักษณ์ก่อนนะ
กำหนดให้
L คือความยาวของคอร์ด
(x,y) คือจุดภายในวงกลมหนึ่งหน่วย, -1ฃxฃ1 and -1ฃyฃ1

ทีนี้ลองสังเกตุแบบที่สองดู จะพบว่าความยาว L ขึ้นอยู่กับตัวแปร y เพียงอย่างเดียวดังนั้น
Prob(Lณึ3) = Prob(2ึ(1-y²)ณึ3)

ซึ่งจัดรูปไปจัดรูปมาจะได้ว่า = Prob(-1/2ฃyฃ1/2)
ซึ่ง-1/2ฃyฃ1/2 มีค่า length = 1
ทีนี้เรารู้ว่าค่า y มีค่าอยู่ในช่วง -1 ถึง 1 (ซึ่งมีค่า length = 2) ดังนั้นความน่าจะเป็นของ
Prob(-1/2ฃyฃ1/2) = 1/2 = 0.5

ที่พิมพ์มาทั้งหมดก็เดาๆเอานะ เดี๋ยวไปกินข้าวก่อนแล้วจะมาหาคำตอบของความน่าจะเป็นแบบที่สามดู

[HP]

สำหรับแบบที่สามก็น่าจะคำนวณเหมือนกันกับแบบแรกและแบบสอง
Prob(Lณึ3)=Prob(ึ2-2cos(a)ณึ3)
ซึ่งถ้าเราจัดรูปไปจัดรูปมา ถอดรูต ยกกำลัง บวกลบคูณหารไปมา ในที่สุดเราจะได้ว่า
= Prob(cos(a)ฃ-1/2) = Prob(-1ฃcos(a)ฃ-1/2)

ซึ่งจากเรื่องตรีโกณ เรารู้ว่า a ต้องอยู่ในช่วง [p-p/3, p+p/3] ซึ่งมีค่า length เท่ากับ 2p/3
แต่เราก็รู้อีกว่าค่า a อยู่ในช่วง 0 ถึง 2p ซึ่งมีค่า length ของมันเท่ากับ 2p
ดังนั้นความน่าจะเป็นของมันก็ควรมีค่าเท่ากับ
Prob(Lณึ3)=Prob(-1ฃcos(a)ฃ-1/2)=(2p/3)/(2p) = 1/3 = 0.333...

ดังนั้นจากทั้งสามแบบเราได้ความน่าจะเป็น เป็น 1/4 , 1/2 , 1/3 แล้วแบบไหนมันถูกต้องหว่า งงงงงง

[HP]

ถ้าให้ผมเดานะ คำตอบที่ถูกต้องควรจะเป็นแบบที่สามคือ 1/3 วิธีคิดของผมก็คือ
สมมติว่า ถ้าเราต้องการสร้างคอร์ดหนึ่งเส้นขึ้นมาเนี่ย เราต้องสุ่มจุดสองจุดบนขอบของวงกลมก่อน สมมติว่าให้จุดแรกมีพิกัดเป็น (x1, y1) และจุดที่สองมีพิกัดเป็น (x2, y2) ซึ่งจุดสองจุดนี้อยู่บนวงกลมรัศมีหนึ่งหน่วย ดังนั้นเราสามารถเปลี่ยนพิกัดของจุดสองจุดนี้จาก rectangular coordinate ให้อยู่ในรูป Polar coordinate ได้(polar coordinate สามารถหาอ่านได้ในหนังสือ calculus ทั่วไปนะครับ) ดังนั้น
(x1,y1) ก็จะกลายเป็น [1, a] โดยที่ 0ฃaฃ2p และ
(x2,y2) ก็จะกลายเป็น [1, b] โดยที่ 0ฃbฃ2p
ดังนั้นมุมระหว่างจุดสองจุดนี้ก็จะมีค่าเป็น |a-b|
จากนั้นเราก็ทำการหาความยาวของคอร์ดซึ่งสามารถใช้ตรีโกณมิติเข้าช่วย ก็จะได้ว่า
L=ึ2-2cos(|a-b|) ซึ่งเราต้องการหาความน่าจะเป็น
Prob (Lณึ3) = Prob(ึ2-2cos(|a-b|)ณึ3)
นอกจากนี้เรารู้ว่า a และ b มี probability density function (pdf) แบบ uniform distribution over [0,2p] ดังนั้นค่าของ |a-b| จะมีการกระจายแบบ uniform distribution over [0,2p] ด้วยเหมือนกัน
จะเห็นได้ว่าเราสามารถแปลงรูปแบบให้ไปอยู่ในรูปแบบที่สามได้ ดังนั้นค่าความน่าจะเป็นก็น่าจะเหมือนกับแบบที่ 3

[TOP]

ค่าทางทฤษฎีถูกต้องแล้วครับ ส่วนค่าความน่าจะเป็นก็ขึ้นอยู่กับวิธีลากเส้นคอร์ดแบบสุ่มขึ้นมา ดังนั้นเวลาจะนำค่าความน่าจะเป็นอันนี้ไปใช้ ก็ต้องดูว่าลักษณะของการกำหนดลากเส้นคอร์ดแบบสุ่ม เป็นแบบใด ก็นำค่านั้นไปใช้

เช่น
- หากเส้นคอร์ดแบบสุ่มของเรามีจุดปลายทั้งสองได้อิสระ ก็จะได้ค่าความน่าจะเป็นคือ \( \frac{1}{4} \)
- หากเส้นคอร์ดแบบสุ่มของเราวางตัวอยู่ในแนวเดียวกันเสมอ ก็จะได้ค่าความน่าจะเป็นคือ \( \frac{1}{2} \)
- หากเส้นคอร์ดแบบสุ่มของเรามีจุดปลายจุดหนึ่งร่วมกันเสมอ ก็จะได้ค่าความน่าจะเป็นคือ \( \frac{1}{3} \)
- หากเส้นคอร์ดแบบสุ่มของเรา ... ก็จะได้ค่าความน่าจะเป็นคือ ...