Strange Eigenvalue Problem

[sompong2479]

หายไปนานเลยครับ กลับมาพร้อมโจทย์อีกแล้วครับ

กำหนดให้ $A_{ij}=\lambda\delta_{ij}+\mu\frac{x_ix_j}{\|x\|^2}\,\,$ โดย $\lambda,\mu$ เป็นจำนวนจริง $\,\,\delta_{ij}$ แทน Kronecker delta function $\,\,$และ $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$
จงพิสูจน์ว่าเมตริกซ์ $(A_{ij})_{n\times n}$ มี eigenvalues คือ $\lambda$ with multiplicity $n-1\,\,$ และ $\lambda+\mu$ with multiplicity 1
($\|x\|^2=\sum_{i=1}^nx_i^2$)

[M@gpie]

โห เป็นโจทย์ที่สนุกสนานพอสมควรทีเดียวครับ ใช้พลังในการเขียนมากทีเดียว
ให้
\[ A = \bmatrix{ \lambda + \mu \frac{x_1^2}{\| x \|^2} & \mu \frac{x_1x_2}{ \| x \|^2} & \mu \frac{x_1 x_3}{\| x \|^2 } & ... & \mu \frac{x_1 x_n}{ \| x \|^2} \\
\mu \frac{x_2x_1}{\| x \|^2} & \lambda + \mu \frac{x_2^2}{ \| x \|^2} & \mu \frac{x_2 x_3}{\| x \|^2 } & ... & \mu \frac{x_2 x_n}{ \| x \|^2} \\
\mu \frac{x_3x_1}{\| x \|^2} &\mu \frac{x_3x_2}{ \| x \|^2} & \lambda + \mu \frac{x_3^2 }{\| x \|^2 } & ... & \mu \frac{x_3 x_n}{ \| x \|^2} \\
. & . & . & ... & . \\
. & . & . & ... & . \\
. & . & . & ... & . \\
\mu \frac{x_nx_1}{\| x \|^2} & \mu \frac{x_nx_2}{ \| x \|^2} & \mu \frac{x_n x_3}{\| x \|^2 } & ... &\lambda + \mu \frac{x_n ^2}{ \| x \|^2}
}\]
ลองพยายามคูณดูครับ จะพบว่า \( x=(x_1,x_2,x_3,...,x_n)^T \in \mathbb{R}^n \)
\[ Ax =(\lambda +\mu)x \]
นั่นคือ \(\;\; \lambda + \mu \;\;\)เป็น eigenvalue ตัวหนึ่งของ A
ต่อไปจะใช้สมบัติที่ว่า \( tr(A) = \sum_{i=1}^{n} s_i \) โดยที่ \( s_i\) เป็น eigenvalue ของ A ก็จะได้ว่า
\[ tr(A) = n \lambda +\mu = (s_1+s_2+s_3+...+s_{n-1}) + \lambda +\mu \rightarrow s_1+s_2+s_3+...+s_{n-1} = (n-1) \lambda \]
ก็สามารถสรุปได้ตามที่โจทย์ต้องการ

[nooonuii]

How can you conclude that $s_1,s_2,...,s_{n-1}$ are all equal?

[M@gpie]

ผมก็มองเอาเลยว่า \( s_1=s_2=s_3=... = s_{n-1}=\lambda \; \; \) then satisfiy \( tr(A) = \sum_{i=1}^n s_i \)
จึงเป็นการเพียงพอที่จะสรุปว่าจริง รึเปล่าครับ???

[sompong2479]

เหนือชั้นจริงๆครับ คุณ m@gpie ผมพยายามตั้งนานยังมองไม่ออกเลยครับ ว่า $\lambda+\mu$ มี eigenvector ตัวนั้น สุดยอด
เอแต่ตรงที่ $\sum_1^{n-1}s_i=(n-1)\lambda$ ผมว่าไม่น่าจะสรุปได้นะครับ ว่าต้องได้ $s_1=\ldots=s_{n-1}$
เพราะอาจจะเป็นแบบอื่นๆได้อีกเยอะเลยครับ

[sompong2479]

แฮะๆๆๆได้แล้วละครับ ทำคล้ายๆกับวิธีของคุณ m@gpie เลยหละครับ
ให้ $v=(t_1,\ldots,t_n)^T$ เป็น เวกเตอร์ซึ่ง $\sum_{i=1}^nt_ix_i=0$ ดังนั้นจะได้
\[
[A\cdot v]_i=\sum_{j=1}^nA_{ij}t_j=\lambda t_i\Longrightarrow A\cdot v=\lambda v
\]
นั่นคือ $v$ เป็น eigenvector with eigenvalue $\lambda$
ทีนี้มันมี $v$ ดังกล่าวได้ทั้งหมด $n-1$ อันที่ linearly independent กัน

[M@gpie]

ไม่ขนาดนั้นหรอกครับ ข้อสรุปที่ว่า \( \lambda \) ซ้ำกัน ของผมยังมีข้อผิดพลาด อิอิ แต่ก็คิดออกแล้วก็ดีแล้วครับ