โจทย์จากค่ายสสวท. ภาค 2

[[T]ira[W]]

1. นักเรียน 54 คนของโรงเรียนแห่งหนึ่ง สมัครเข้าเป็นสมาชิกชมรมซึ่งมีทั้งหมด 11 ชมรม แต่ละชมรมมีสมาชิกอย่างน้อย 15 คน นักเรียนแต่ละคนเป็นสมาชิกได้อย่างมาก 3 ชมรม ชมรม 3 ชมรมใด ๆ จะต้องมีสมาชิกร่วมกันอย่างน้อย 1 คน จงพิสูจน์ว่าจะต้องมีชมรม 2 ชมรม ซึ่งมีสมาชิกร่วมกันอย่างน้อย 6 คน

2. ให้ \( x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} \) เป็นจำนวนเฉพาะที่ต่างกัน \( n \) จำนวน จงหาจำนวนค่าที่แตกต่างกันที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซึ่งได้จากการใส่วงเล็บต่าง ๆ ในนิพจน์ \( x_{1} / x_{2} / ... / x_{n} \) เพื่อให้การหารกระทำกันทีละคู่ (/ คือเครื่องหมายหาร)

3.จงพิสูจน์ว่า จำนวนเต็มบวกใด ๆ ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ \( n! \) สามารถเขียนได้เป็นผลบวกของจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันอย่างมาก \( n \) จำนวน โดยที่แต่ละจำนวนหาร \( n! \) ลงตัว

4. ให้ \( n \) และ \( k \) เป็นจำนวนเต็มที่ \( n \geq 5 \) และ \( 2 \leq k \leq n \) จงพิสูจน์ว่า \( k - 1 \) หาร \( \frac{(n-1)!}{k} \) ลงตัว

[gon]

ข้อ 4 \(\fbox{โจทย์บกพร่องครับ} \, \)
เพราะ ถ้า n = 5 จะได้ว่า 2 ฃ k ฃ 5
เลือก k = 5 จะได้ว่า 4 หาร (24/5) ไม่ลงตัว