|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
เราลองมาหาเอกลักษณ์ฟีโบนักชีและจำนวนลูคัสกันเถอะ
ฟีโบนักชี มีนิยามคือ F(n)=F(n-1)+F(n-2) โดยที่ F(0)=1,F(1)=1,F(2)=2 เมื่อ n มากกว่าหรือเท่ากับ 2
อยากจะรู้การพิสูจน์ว่า กำหนดให้ m,n เป็นจำนวนเต็ม แต่ m ไม่เท่ากับ 0 ถ้า m หาร n ลงตัว แล้ว F(m) หาร F(n) ลงตัว หวังว่าน่าจะมีคนที่พิสูจน์แล้วน่ะคับ มีตารางฟีโบนักชีให้น่ะคับ เมื่อ N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F(N) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 |
#2
|
|||
|
|||
ใช้อันนี้ครับ
$(F_m,F_n)=F_{(m,n)}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
|||
|
|||
อันนี้ใช้หรม. ใช่ป่าวด้านบน ลงรายละเอียดให้หน่อยนะคับ
|
#4
|
||||
|
||||
ผมสังเกตเห็นว่า นิยามกับตารางที่คุณ”จินตนาการ สร้างสรรค์”ให้มา มีความไม่สอดคล้องกัน
ซึ่งโดยทั่วๆไป แล้วเรามักจะนิยาม ลำดับฟีโบนักชี ดังความสัมพันธ์ด้านล่าง (นิยามนี้จะสอดคล้องกับตารางที่คุณ”จินตนาการ สร้างสรรค์” ให้มา) $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ โดยที่ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $F_0=0 , F_1=1$ สำหรับการที่จะพิสูจน์ว่า : ถ้า $m$ หาร $n$ ลงตัว แล้ว $F_m$ หาร $F_n$ ลงตัว ผมคิดว่าคงมีหลายวิธีที่จะพิสูจน์ ข้างล่าง ผมจะเสนอวิธีคิดของผมวิธีหนึ่งละกันนะครับ เราสามารถใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์ได้ว่าสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $t$ และ $0 \leq k \leq t-1$ เรามี $F_t=F_{k+1}F_{t-k}+F_kF_{t-k-1}$ ใช้อุปนับเชิงคณิตศาสตร์กับ $k$ (๑) ถ้า $k=0$ หรือ $k=1$ จะเห็นได้อย่างง่ายว่าข้อสรุปเป็นจริง (๒) สมมติว่า สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $t$ เรามี $F_t=F_{k+1}F_{t-k}+F_kF_{t-k-1}$ โดยที่ $k < t-1$ ข้างล่างจะแสดงว่า $F_t=F_{(k+1)+1}F_{t-(k+1)}+F_{k+1}F_{t-(k+1)-1}$ ที่จริงแล้ว เรามี $F_t=F_{k+1}F_{t-k}+F_kF_{t-k-1}$ $=F_{k+1}(F_{t-k-1}+F_{t-k-2})+ F_kF_{t-k-1}$ $=(F_{k+1}+F_k)F_{t-k-1}+F_{k+1}F_{t-k-2}$ $=F_{k+2}F_{t-k-1}+ F_{k+1}F_{t-k-2}$ จากข้อสรุปนี้ แทน $t=t+k$ เราจะได้ว่า $F_{t+k}=F_{k+1}F_t+F_kF_{t-1}$ ใช้เอกลักษณ์นี้ และอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ สามารถพิสูจน์ได้ว่า สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $k ,p$ ($p$ เท่ากับ 0 ได้) มี $F_k | F_{pk}$ ใช้อุปนับเชิงคณิตศาสตร์กับ $p$ (๑) ถ้า $p=0$ หรือ $p=1$ จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าข้อสรุปเป็นจริง (๒) สมมติว่า $ F_k | F_{pk} $ ข้างล่างจะแสดงว่า $F_k | F_{(p+1)k}$ ที่จริงแล้ว จากเอกลักษณ์ข้างบน เราจะได้ว่า $F_{(p+1)k}=F_{k+1}F_{pk}+F_kF_{pk-1}$ และเนื่องจาก $ F_k | F_{pk} $ ดังนั้น $ F_k | F_{k+1}F_{pk}+F_kF_{pk-1}$ นั่นคือ $F_k | F_{(p+1)k}$ จากข้อสรุปนี้ เราได้ว่า ถ้า $m$ หาร $n$ ลงตัว แล้ว $F_m$ หาร $F_n$ ลงตัว แต่ ที่จริงแล้ว เรามีข้อสรุปที่ Strong กว่า ข้อสรุปข้างต้น กล่าวคือ ที่จริงแล้วเรามี $F_{gcd(m,n)}=gcd(F_m,F_n)$ ในที่นี้ $gcd(m,n)$ คือห.ร.ม.ของ $m$ และ $n$ แน่นอนว่าคงจะมีหลายวิธีที่จะพิสูจน์ข้อสรุปนี้ ข้างล่างผมจะเสนอแนวคิดของผมคร่าวๆละกันนะครับ ขยายนิยามของลำดับฟีโบนักชี โดยที่ อนุญาตให้สามารถแทน $n$ เป็นลบ หรือ 0 ลงใน $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ ได้ ยกตัวอย่างเช่น แทน $n=0$ ก็จะได้ว่า $F_1=F_0+F_{-1}$ ดังนั้น $F_{-1}=1$ (เนื่องจาก $F_0=0, F_1=1$) แทน $n=-1$ ได้ว่า $F_0=F_{-1}+F_{-2}$ ดังนั้น $F_{-2}=-1$ สามารถแสดงได้ว่า สำหรับทุกจำนวนเต็ม $n$ ($n$ อาจเป็นบวก เป็นลบ หรือเป็นศูนย์ก็ได้ ) $F_{-n}=(-1)^{n+1}F_n$ ตอนนี้ เราก็จะได้ลำดับฟีโบนักชี ดังที่แสดงไว้ข้างล่าง $...,5,-3,2,-1,1,0,1,1,2,3,5,…$ สามารถแสดงได้ว่า สำหรับทุกจำนวนเต็ม $t$ และ $k$ ($t ,k$ อาจเป็นบวก เป็นลบ หรือเป็นศูนย์ก็ได้ ) $F_{t+k}=F_{k+1}F_t+F_kF_{t-1}$ (วิธีพิสูจน์ คล้ายๆกับ proof by induction1 ) ใช้ข้อสรุปจากขั้นตอนที่ ๒ และอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ สามารถแสดงได้ว่า ถ้า $m$ หาร $n$ ลงตัว แล้ว $F_m$ หาร $F_n$ ลงตัว (ในที่นี้ $m,n$ อาจจะเป็นบวกหรือเป็นลบก็ได้ และ $n$ เป็นศูนย์ได้) เนื่องจาก $gcd(m,n) |m$ และ $gcd(m,n) |n$ ใช้ข้อสรุปจากขั้นตอนที่ ๓ จะได้ว่า $F_{gcd(m,n)} |F_m$ และ $F_{gcd(m,n)} |F_n$ ดังนั้น $F_{gcd(m,n)} |gcd(F_m,F_n)$ ข้างล่างจะแสดงว่า $ gcd(F_m,F_n) | F_{gcd(m,n)} $ ที่จริงแล้ว เนื่องจาก จะต้องมีจำนวนเต็ม $x ,y$ ที่ทำให้ $mx+ny=gcd(m,n)$ ใช้เอกลักษณ์ที่กล่าวถึงในขั้นตอนที่ ๒ จะได้ว่า $F_{mx+ny}=F_{ny+1}F_{mx}+F_{ny}F_{mx-1}$ และ เนื่องจาก $gcd(F_m,F_n)|F_m$ และ $F_m|F_{mx}$ ดังนั้น $gcd(F_m,F_n)|F_{mx}$ ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า $gcd(F_m,F_n)|F_{ny}$ ดังนั้น $gcd(F_m,F_n)| F_{ny+1}F_{mx}+F_{ny}F_{mx-1}$ นั่นคือ $ gcd(F_m,F_n) | F_{mx+ny} $ และจาก $mx+ny=gcd(m,n)$ จึงได้ว่า $ gcd(F_m,F_n) | F_{gcd(m,n)} $ นอกจากนี้ ข้างหน้าเราได้แสดงแล้วว่า $F_{gcd(m,n)} |gcd(F_m,F_n)$ ดังนั้น $F_{gcd(m,n)} =gcd(F_m,F_n)$
__________________
I LoVe MWIT SimpL3 MaKes SuccEss 20 มิถุนายน 2010 11:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ picmy |
|
|