จากการอ่านหนังสือ สอวน.

[RedfoX]

ทฤษฎีบท ทุกพหุนามกำลังสามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง จะมีรากจริวอย่างน้อย 1 ราก
บทพิสูจน์
ให้
\[
P(t) = t^3 + pt + q^{} ^{} ,p\& q \in R
\]
แล้วแสดงว่าจะมีจำนวนจริง
\[
\alpha
\]
ที่ทำให้
\[
t^3 + pt + q = (t - \alpha )(t^2 + \beta y + \gamma )
\]
ให้ t=u+v เป็นรากของพหุนาม\[t^3 + pt + q^{} ^{}\] นั่นคือสมมติว่ารากอยู่ในรูปแบบ u+v แล้วจะหา u และ v ซึ่งจะได้
\[
u^3 + v^3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0
\]
แ่ต่การสมมติรากดังข้างต้น เราต้องการให้ได้สมการที่ไม่มีพจน์กำลังหนึ่งและกำลังสอง จึงให้ 3uv+p=0
และได้
\[
u^3 + v^3 = - q
\]
ทำให้ได้ระบบสมการ
\[
u^3 + v^3 = - q
\]
\[
uv = \frac{{ - p}}{3}
\]
ซึ่งแสดงว่า (จากตรงนี้ละครับที่สงสัย)
\[
u^3 ,v^3
\]
เป็นรากของสมการ

\[
y^2 + qy - \frac{{p^3 }}{{27}} = 0
\]


\[
that^{} is^{} \left\{ {u^3 ,v^3 } \right\} = \left\{ {\frac{{ - 3\sqrt 3 \pm \sqrt {27q^2 + 4p^3 } }}{{6\sqrt 3 }}} \right\}
\]
ว่ามันมาได้ไงอะครับ

[M@gpie]

จาก $uv=-\frac{p}{3}$ ครับ จะได้ว่า $v=-\frac{p}{3u}$ เอาไปแทนในสมการ $u^3+v^3 = -q$ ก็จะได้สมการกำลังสอง ที่น้องสงสัยว่ามาได้ยังไงครับ ซึ่งคำตอบคือ $y=u^3$ นั่นเองครับผม

[dektep]

Theorem. [Vieta’s formulas] Let $a_{1}, . . . , a_{n}$ and $c_{1}, . . . , c_{n}$ be complex numbers such that
$(x − a_{1})(x − a_{2}) \cdots (x − a_{n}) = x^n + c_{1}x^{n−1} + c_{2}x^{n−2} + \cdots + c_{n}$.
Then $c_{k} = (−1)^k \sigma_{k} (a_{1}, . . . ,a_{n})$ for $k = 1, 2, \dots , n$.

[putmusic]

ง่าๆๆๆ บอร์ดนี้คลั่งภาษาอังกฤษมากๆเลยง่า อ่านไม่รุ้เรื่องเลย