โจทย์ x y

[GunUltimateID]

x+y = 7
$x^4 + y^4 = 337$
x,y เป็นจำนวนจริง
จงหาจำนวนคู่อันดับ (x,y)

จากการเดาสุ่มผมรู้ว่ามันมี (3,4),(4,3) แต่ไม่รู้ว่าวิธีคิดจริงมันเป็นยังไง

[b_sawanya]

ก็ย้ายข้างของสมการอันแรกจะได้

x = 7-y

แล้วก็นำค่า x ที่ได้ไปแทนสมการบรรทัดที่2

ก็แก้สมการปกติก็จะได้คำตอบออกมา

[GunUltimateID]

จาก rep บน
ถ้าเอาไปแทนมันก็เป็นสมการกำลัง4 ยุ่งยากอะครับ

[owlpenguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ GunUltimateID

x+y = 7
$x^4 + y^4 = 337$
x,y เป็นจำนวนจริง
จงหาจำนวนคู่อันดับ (x,y)

จากการเดาสุ่มผมรู้ว่ามันมี (3,4),(4,3) แต่ไม่รู้ว่าวิธีคิดจริงมันเป็นยังไง

$x^4+y^4=((x+y)^2-2xy)^2-2x^2y^2$
ให้ $xy=a$
ได้ว่า $337=(49-2a)^2-2a^2$
แก้หาค่า $a$ ได้ $a=12,86$ นั่นคือ $xy=12,86$
$\therefore x,y$ เป็นรากของสมการ $z^2-7z+12=0$ ไม่ก็ เป็นรากของสมการ $z^2-7z+86=0$
แต่ $z^2-7z+86=(z-3.5)^2+73.75>0$ ทุก $z\in\mathbb{R}$
$\therefore x,y$ เป็นรากของสมการ $z^2-7z+12=0\rightarrow (x,y)=(3,4),(4,3)$

[gon]

ปัญหาข้อนี้จะง่ายมาก ถ้าใช้ความรู้ของ ม.ปลายขึ้นไปครับ กราฟสมการ $x^2 + y^2 =k$ เมื่อ k เป็นจำนวนจริงบวกใด ๆ จะเป็นสมการวงกลมบนระนาบ 2 มิติ ของจำนวนจริง สำหรับสมการ $x^4 + y^4 = k$ ก็เช่นกัน จะคล้าย ๆ รูปวงกลมแต่เหลี่ยมกว่า ดังนั้นถ้ามีสมการ x + y = 7 ซึ่งเป็นเส้นตรง หากเส้นตรงดังกล่าว ตัดแต่ไม่สัมผัส $x^4 + y^4 = k$ ก็ย่อมต้องมีจุดตัดเพียง 2 จุด เท่านั้น



หมายเหตุ โจทย์ข้อนี้เป็นข้อสอบเข้าโรงเรียนเตรียมอุดม ฯ ปี พ.ศ. 2535 ครับ.

[GunUltimateID]

แล้วจะรู้ได้ไงว่า $x^4 + y^4 = k$ เป็นเหลี่ยมๆ
รู้สึกว่ามันไม่มีใน ม ปลายหนิครับ