อนุกรมอนันต์

[-InnoXenT-]

โจทย์นี้ เกิดจากการคิดเล่นๆของผมเอง ซึ่งโจทย์มีอยู่ว่า (ตัวผมเองยังไม่สามารถหาคำตอบได้ ยังหาอยู่)

กำหนดให้ $A_1$ เป็นอนุกรมอนันต์ ซึ่งหาค่าได้ และ


$\frac{2}{3}A_n = \frac{1}{3^{2n-1}}+A_{n+1}$ ทุกจำนวนเต็ม $n \geqslant 1$

ถามว่า สามารถ หาค่า $\lim_{n \to \infty} A_n$ และค่าที่แน่นอนของ $A_1$ ได้หรือไม่ และค่านั้นๆ มีค่าเท่ากับเท่าไร

เกิดจากการคิดเล่นๆของผมเอง ถ้าโจทย์ผิดพลาดประการใด ขอโทษด้วยครับ T T

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

โจทย์นี้ เกิดจากการคิดเล่นๆของผมเอง ซึ่งโจทย์มีอยู่ว่า (ตัวผมเองยังไม่สามารถหาคำตอบได้ ยังหาอยู่)

กำหนดให้ $A_1$ เป็นอนุกรมอนันต์ ซึ่งหาค่าได้ และ


$\frac{2}{3}A_n = \frac{1}{3^{2n-1}}+A_{n+1}$ ทุกจำนวนเต็ม $n \geqslant 1$

ถามว่า สามารถ หาค่า $A_{\infty}$ และค่าที่แน่นอนของ $A_1$ ได้หรือไม่ และค่านั้นๆ มีค่าเท่ากับเท่าไร

เกิดจากการคิดเล่นๆของผมเอง ถ้าโจทย์ผิดพลาดประการใด ขอโทษด้วยครับ T T

$A_1$ เป็นอนุกรมอนันต์ หมายความว่ายังไงครับ $A_1$ ไม่ใช่พจน์แรกเหรอครับ?
แล้วก็โดยปกติ คือในทางคณิตศาสตร์ เราไม่ถือว่า $\infty$ เป็นตัวเลข
ดังนั้นแทนที่จะเขียน $A_{\infty}$ เขียนว่า $\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n$ จะดีกว่าครับ

[-InnoXenT-]

ถ้าจะให้ผมแก้ไข ผมก็งงๆตัวเองอยู่เหมือนกันว่า พิมพ์ออกมาได้ไง

ถ้าสมมติว่า $A_n$ เป็นลำดับของอนุกรมอนันต์

โดยที่ $A_{n+1} = \frac{2}{3}A_n - \frac{1}{3^{2n-1}}$ เมื่อ $n \geqslant 1$

จะเวิร์คกว่ามั๊ยครับ ส่วนเรื่อง lim ผมแก้ไขแล้ว

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

ถ้าจะให้ผมแก้ไข ผมก็งงๆตัวเองอยู่เหมือนกันว่า พิมพ์ออกมาได้ไง

ถ้าสมมติว่า $A_n$ เป็นลำดับของอนุกรมอนันต์

โดยที่ $A_{n+1} = \frac{2}{3}A_n - \frac{1}{3^{2n-1}}$ เมื่อ $n \geqslant 1$

จะเวิร์คกว่ามั๊ยครับ ส่วนเรื่อง lim ผมแก้ไขแล้ว

ก็... เท่าที่เคยเห็น เวลาจะเขียนถึงลำดับ เขาก็จะเขียนว่า $\displaystyle\left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ หรือว่า $\displaystyle\left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}$ กันครับ

แล้วก็ค่าที่แน่นอนของ $A_1$ หมายความว่ายังไงครับ ก็... ลำดับเรามันเริ่มด้วยอะไรก็ได้ $A_1$ ก็เป็นอะไรก็ได้ไม่ใช่เหรอครับ หรือว่าผมเข้าใจผิดเอง

[-InnoXenT-]

จะว่าไปตอนคิด ก็ลืมนึกถึงค่า $A_1$ แฮะ

ขอโทษที่ทำให้เสียเวลาครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

ถ้าสมมติว่า $A_n$ เป็นลำดับของอนุกรมอนันต์

โดยที่ $A_{n+1} = \frac{2}{3}A_n - \frac{1}{3^{2n-1}}$ เมื่อ $n \geqslant 1$

มันก็ความสัมพันธ์เวียนบังเกิดธรรมดานี่แหละครับ เพราะอนุกรมถ้ามันลู่เข้ามันก็จำนวนจริงจำนวนหนึ่ง

จริงๆแล้วสามารถหาสูตรทั่วไปของ $A_n$ ได้ด้วยซ้ำ

แต่ถ้าอยากรู้แค่ลิมิตจะัได้ว่า

$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}A_n}=0$

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

มันก็ความสัมพันธ์เวียนบังเกิดธรรมดานี่แหละครับ เพราะอนุกรมถ้ามันลู่เข้ามันก็จำนวนจริงจำนวนหนึ่ง

จริงๆแล้วสามารถหาสูตรทั่วไปของ $A_n$ ได้ด้วยซ้ำ

แต่ถ้าอยากรู้แค่ลิมิตจะัได้ว่า

$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}A_n}=0$

แล้วมันแก้ยังไงเหรอครับ ความสัมพันธ์เวียนบังเกิดข้อนี้

คือ ผมมีหนังสือ ที่มีเนื้อหาเรื่องนี้เหมือนกัน แต่ทำไม่ค่อยได้เลยครับ

[nooonuii]

ให้ $r,s\in (-1,1)$ และ $c\in\mathbb{R}$

นิยาม $A_{n+1}=rA_n+cs^n$

จะได้

$A_{n+1}=rA_n+cs^n$

$~~~~~~~=r^2A_{n-1}+c(s^n+rs^{n-1})$

$~~~~~~~=\cdots$

$~~~~~~~=r^nA_1+c(s^n+rs^{n-1}+\cdots + r^{n-1}s)$

$~~~~~~~=r^nA_1+cs(s^{n-1}+rs^{n-1}+\cdots +r^{n-2}s+r^{n-1})$

ถ้า $r=s$ จะได้

$~~~~~~~ A_{n+1}=r^nA_1+cnr^n$

$~~~~~~~~~~~~~~=r^n(A_1+cn)$

ถ้า $r\neq s$ จะได้

$~~~~~~~ A_{n+1}=r^nA_1+cs\Big(\dfrac{s^n-r^n}{s-r}\Big)$

ทั้งสองกรณีจะได้ $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}A_n}=0$

ยิ่งกว่านั้น $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}A_n}$ ก็หาค่าได้