ช่วยแก้โจทย์หน่อยครับ

[นายคนดี]

1. ให้ p(x,y) เป็นพหุนามสมมาตาร 2 ตัวแปร จงแสดงว่า ถ้า(x-y) เป็นตัวประกอบของ p(x,y) แล้ว (x-y)²จะเป็นตัวประกอบของ p(x,y) ด้วย
2.ให้ p(x,y)=x²y+xy² และ Q(x,y)=x²+xy+y² และสำหรับจำนวนเต็มบวก n เรานิยาม F_n(x,y)=(x+y)ⁿ-xⁿ-yⁿ และ G_n(x,y)=(x+y)ⁿ+xⁿ+yⁿ จงแสดงว่าสำหรับแต่ละ nณ 1 เราจะได้ว่า F_nหรือ G_n เขียนได้ในรูปพหุนามเหนือ Z ของตัวแปร P และ Q
3.กำหนดให้ sin x+sin y=a และ cos x+cos y =b จงหาค่าของ tan(x/2) และ tan(y/2)
4..a,b,c,d เป็นจำนวนคงค่าที่แตกต่างกันทั้งหมด จงหาค่า x,y,z,w ที่สอดคล้องกับสมการ
x+ay+a²z+a³w=a⁴
x+by+b²z+b³w=b⁴
x+ay+c²z+c³w=c⁴
x+ay+d²z+d³w=d⁴
5.ให้ x₁,x₂,.....,x_n เป็นจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องกับสมการ x₁+x₂+.....+x_n =a และสมการ
Sⁿ _1ฃi<jฃn b² จงหาค่ามากสุดของ x₁,x₂,.....,x_n ที่จะเป็นไปได้

[warut]

ข้อ 4. ทำแบบเดียวกับวิธีที่ผมใช้แก้ข้อ 25. ของคุณ nooonuii ครับ
ข้อ 5. รู้สึกว่าโจทย์จะไม่สมบูรณ์นะครับ

[nongtum]

3. แนวคิด(อาจไม่จริงสำหรับทุก x,y,a,b เพราะการหารด้วยศูนย์เป็นไปได้ หากใครเห็นที่ผิดหรืออยากแนะนำอะไรบอกได้ครับ) จาก
\[\large\begin{array}{ccc}
\sin{A}+\sin{B}=2\sin{(\frac{A+B}{2})}\cos{(\frac{A-B}{2})}=a&\qquad&...(1)\\
\cos{A}+\cos{B}=2\cos{(\frac{A+B}{2})}\cos{(\frac{A-B}{2})}=b&\qquad&...(2)
\end{array}
\]จะได้ \[\tan{(\frac{A+B}{2})}=\frac{a}{b},\ \tan{(A+B)}=\frac{2ab}{b^2-a^2},\ \cos{(A+B)}=\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}\]ยกกำลังสองสมการ (1),(2) แล้วจับบวกกันจะได้(หลังจากจัดรูป)\[\cos{(A-B)}=\frac{a^2+b^2-2}{2}\] ดังนั้น \[\large\begin{array}{ccc}
2\cos{A}\cos{B}=\frac{a^2+b^2-2}{2}+\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}=:c_1&\qquad&...(3)\\ 2\sin{A}\sin{B}=\frac{a^2+b^2-2}{2}-\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}=:c_2&\qquad&...(4)
\end{array}\]
แทน cos(A)=b-cos(B) ใน (3) และ sin(A)=a-sin(B) ใน (4) จะได้
\[\begin{array}{ccc}
\cos{B}=\frac{1}{2}(b\pm\sqrt{b^2-2c_1})&&\cos{A}=\frac{1}{2}(b\mp\sqrt{b^2-2c_1})\\
\sin{B}=\frac{1}{2}(a\pm\sqrt{a^2-2c_2})&&\sin{A}=\frac{1}{2}(a\mp\sqrt{a^2-2c_2})\\
\end{array}\]
ค่าที่ต้องการแต่ละตัว จะได้จากเอกลักษณ์ \[\tan{\theta}=\frac{1-\cos{2\theta}}{\sin{2\theta}}\]

1. สมมติให้ P(x,y)=(x-y)Q(x,y) เป็นพหุนาม โดยที่ (x-y) หาร Q(x-y) ไม่ลงตัว
เพราะ \(P(x,y)-P(y,x)=(x-y)[Q(x,y)+Q(y,x)]=0\) เราจะพิจารณากรณีดังต่อไปนี้
x=y: จะได้ P(x,y)=0 นั่นคือ (x-y)²|P(x,y) เกิดข้อขัดแย้ง
xนy: (กรณีนี้ยังคิดไม่ออกครับ)

ป.ล.
4. ถ้าหากจะคิดแบบคุณ warut จริงๆจะมีปัญหาหาก a,b,c,d ตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ แต่ข้อนี้สามารถแก้ได้ด้วย row operation ครับ

[nooonuii]

ข้อ 4 ถ้าตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ผมว่าก็ไม่มีปัญหานะครับ สำคัญคือทุกตัวต้องมีค่าต่างกัน ไม่งั้นระบบสมการจะมีคำตอบเป็นจำนวนอนันต์

ข้อ 1 ให้ P(x,y) = (x-y)Q(x,y)
เนื่องจาก P(x,y) = P(y,x) เราจะได้ว่า
(x - y)[Q(x,y) + Q(y,x)] = 0
เนื่องจาก x - y ไม่เป็นพหุนามศูนย์เราจึงได้ว่า
Q(x,y) + Q(y,x) = 0
ดังนั้น Q(x,x) = 0
นั่นคือ x - y เป็นตัวประกอบของ Q(x,y)
ดังนั้น (x - y)² เป็นตัวประกอบของ P(x,y)

เพิ่มเติมสำหรับคนที่รู้จัก Abstract Algebra :
1. ข้อความนี้ไม่จริงใน ring ที่มี characteristic 2 เช่น P(x,y) = xy(x + y)
2. เราสรุปว่า Q(x,y) + Q(y,x) = 0 ได้จากการที่ polynomial ring R[x,y] เป็น integral domain ซึ่งในโจทย์ระดับมัธยมเรามักจะใช้ ring ของระบบจำนวนจึงไม่มีปัญหา

[Punk]

1. \( p(x,y)\,\, \) สมมาตร ดังนั้น \( p(x,y)=p(y,x)\,\, \) ทุก \( x,y\quad \) จาก \( (x-y)\) หาร \( p(x,y)\,\) ลงตัว ดังนั้น \( p(x,y)=(x-y)q(x,y)\)
เพียงพอที่จะแสดงว่า \( q(x,x)=0\,\, \) สำหรับทุก \( x \)
\[
(x-y)q(x,y)=(y-x)q(y,x),\qquad\text{ดังนั้น}\quad q(x,y)=-q(y,x)
\]
แทนค่า \( x=y\,\, \) ได้ \( q(x,x)=0 \)

[นายคนดี]

ข้อ 5 โจทย์ไม่ผิดครับ สมบูรณ์แล้วคับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ นายคนดี:
2.ให้ p(x,y)=x²y+xy² และ Q(x,y)=x²+xy+y² และสำหรับจำนวนเต็มบวก n เรานิยาม F_n(x,y)=(x+y)ⁿ-xⁿ-yⁿ และ G_n(x,y)=(x+y)ⁿ+xⁿ+yⁿ จงแสดงว่าสำหรับแต่ละ nณ 1 เราจะได้ว่า F_nหรือ G_n เขียนได้ในรูปพหุนามเหนือ Z ของตัวแปร P และ Q

ตอนนี้แค่กรณี n = 1 ผมยังทำไม่ได้เลย

5.ให้ x₁,x₂,.....,x_n เป็นจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องกับสมการ x₁+x₂+.....+x_n =a และสมการ
Sⁿ _1ฃi<jฃn =b² จงหาค่ามากสุดของ x₁,x₂,.....,x_n ที่จะเป็นไปได้

ไม่เข้าใจครับว่าสัญลักษณ์\[\sum_{1\le i\le j\le n}^n=b^2\]หมายความว่าอย่างไร

[นายคนดี]

-ขอโทดททีคับดูไม่ละเอียดเองตอนนี้แก้โจทย์ข้อ 5 ให้แล้วคับ